摘要： 已知函数f(x)=|log2(x+1)|.实数m.n在其定义域内.且m＜n.f(m)=f(n). 求证:(1)m+n＞0, (2)f(m2)＜f(m+n)＜f(n2). (1)证法一:由f(m)=f(n).得|log2(m+1)|=|log2(n+1)|.即log2(m+1)=±log2(n+1). log2(m+1)=log2(n+1). ① 或log2(m+1)=log2. ② 由①得m+1=n+1.与m＜n矛盾.舍去. 由②得m+1=.即(m+1)(n+1)=1. ③ ∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0. 由③得mn+m+n=0.m+n=-mn＞0. 证法二:(m+1)(n+1)=1. ∵0＜m+1＜n+1.∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0. (2)证明:当x＞0时.f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1)在上为增函数. 由(1)知m2-(m+n)=m2+mn=m(m+n).且m＜0.m+n＞0.∴m(m+n)＜0. ∴m2-(m+n)＜0.0＜m2＜m+n. ∴f(m2)＜f(m+n). 同理.(m+n)-n2=-mn-n2=-n(m+n)＜0. ∴0＜m+n＜n2.∴f(m+n)＜f(n2). ∴f(m2)＜f(m+n)＜f(n2).

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