摘要：7．函数.方程.不等式之间的转化 例11．若函数有三个不同的零点.则实数的取值范围是 A． B． C． D． 分析:本题为三次函数有三个不同的零点.则函数应该有两个极值点.一个极值为正.一个极值为负.所以要先求出其导数.再求其极值. 解: 由函数有三个不同的零点,则函数有两个极值点,且有,得,所以函数的两个极值为和,结合图象,应该有∴,故选A 答案:A 评注:一般地对于高次函数来说.要转化为导函数研究问题.特别是在研究函数的单调性.最值等性质时要用导数解决. 例12．设函数为实数. (Ⅰ)已知函数在处取得极值.求的值, (Ⅱ)已知不等式对任意都成立.求实数的取值范围. 分析:(Ⅱ)中不等式对任意都成立.可以转化为的不等式在都成立.从而变为的一次函数由单调性来解答,也可以将分化出来.转化为的不等式在恒成立.研究右边函数的最值. 解: (1).由于函数在时取得极值.所以 即 (2) 方法一: 由题设知:对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意.为单调递增函数 所以对任意.恒成立的充分必要条件是 即 .. 于是的取值范围是 方法二:由题设知:对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立.即 . 于是的取值范围是 评注:对于不等式恒成立问题.一般来说是要分化出参数.转化为求右边函数的最值问题,但有的也不容易分化.我们也可以转换主变量.把二次函数转化为一次函数.根据一次函数的单调性即可容易完成. 已知定义在正实数集上的函数..其中．设两曲线.有公共点.且在该点处的切线相同． (I)用表示.并求的最大值, (II)求证:()． 本小题主要考查函数.不等式和导数的应用等知识.考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同． ..由题意.． 即由得:.或． 即有． 令.则．于是 当.即时., 当.即时.． 故在为增函数.在为减函数. 于是在的最大值为． (Ⅱ)设. 则． 故在为减函数.在为增函数. 于是函数在上的最小值是． 故当时.有.即当时.．

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