摘要：6．(2010·福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中.存在无数对互相垂直的切线的曲线是 ( ) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx 解析:设切点的横坐标为x1.x2 则存在无数对互相垂直的切线.即f′(x1)·f′(x2)＝-1有无数对x1.x2使之成立 对于A由f′(x)＝ex＞0. 所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝-1成立, 对于B由于f′(x)＝3x2＞0. 所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝-1成立, 对于C由于f(x)＝lnx的定义域为. ∴f′(x)＝＞0. 对于Df′(x)＝cosx.∴f′(x1)·f′(x2)＝cosx1·cosx2.当x1＝2kπ.x2＝(2k+1)π.k∈Z.f′(x1)·f′(x2)＝-1恒成立． 答案:D

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