已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），离心率为e．
（1）若e=

2

2

，求椭圆方程；
（2）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF，BF的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上．
（i）将k表示成e的函数；
（ii）当e∈(

2

2

，

3

2

]时，求k的取值范围．

如图，F₁，F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-

1

2

将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．