Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设F₂（c，0），由直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3，解得c=1．再由离心率为e=，求出a=，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，不合题意．当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-，m），m≠0，设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得，推导出k=，直线PQ的斜率为k₁=-4m，由此能推导出存在两点M符合条件，坐标为M（-，-）和M（-，）．
解答：解：（Ⅰ）设F₂（c，0），
∵直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3，
∴，解得c=1．
∵离心率为e=，∴a=，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=-，
此时P（-，0），Q（，0），=-1，不合题意．
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-，m），m≠0，
设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得，
则-1+4mk=0，故k=，
此时，直线PQ的斜率为k₁=-4m，
PQ的直线方程为y-m=-4m（x+），即y=-4mx-m．
联立，消去y，整理，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
∴，x₁x₂=，
由题意=0，
∴=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=（1+16m²）x₁x₂+（4m²-1）（x₁+x₂）+1+m²
=++1+m²
==0，
∴m=．
∵M在椭圆内，∴，
∴m=符合条件．
综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（-，-）和M（-，）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．