摘要：已知菱形ABCD的顶点A.C在椭圆上.对角线BD所在直线的斜率为1. (Ⅰ)当直线BD过点(0.1)时.求直线AC的方程, (Ⅱ)当时.求菱形ABCD面积的最大值． [答案] (Ⅰ)解法1:由题意得直线BD的方程为． 因为四边形ABCD为菱形.所以． 于是可设直线AC的方程为． 由得． 因为.在椭圆上. 所以.解得． 设.两点坐标分别.. 则...． 所以． 所以的中点的坐标为(). 由四边形为菱形可知,点()在直线上, 所以,解得. 所以直线的方程为.即． 本题也可以由.两点到直线距离相等.得到. 或者由点(0.1)到.两点的距离相等.得到. 再由 . ..也能解得． 还可以由点(0.1)到直线的距离等于点(0.1)与中点距离. 得到.解得． 解法2设.两点坐标分别为..中点 由题意 解得.. 所以直线的方程为.即.(经检验.所求直线方程符合题意．) 解法3设.两点坐标分别为.. 因为.在椭圆上.所以 ①-②得.即. 因为四边形为菱形.所以. 所以直线的斜率为.即. 所以. 设直线的方程为. 由.得到的中点, 于是有.即. 所以直线的方程为.即. 解法4设点坐标为. 因为.关于直线:对称. 所以点坐标为. 由在椭圆上.得. ②-①并整理得到. 即或. 因为点.在直线上.且直线的斜率为. 所以点坐标满足方程. 因此直线的方程为. 本题也可由. 解得或 所以直线的方程为. (Ⅱ)因为四边形为菱形,且, 所以. 所以菱形的面积 由(Ⅰ)可得 所以 所以当时,菱形的面积取得最大值.

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