摘要： 我们知道:函数y＝f (x)如果存在反函数y＝f -1 的图像与y＝f -1 (x)图像关于直线y＝x对称.若y＝f (x)的图像与y＝f -1 (x)的图像有公共点.其公共点却不一定都在直线y＝x上,例如函数f (x)＝.在其定义域上是增函数.且y＝f (x)的图像与其反函数y＝f -1 (x)的图像有公共点.证明这些公共点都在直线y＝x上,＝a x 与其反函数f -1 (x)＝logax的图像有多少个公共点? 有如下观点:观点①:“当a＞1时两函数图像没有公共点.只有当0＜a＜1时两函数图像才有公共点 .观点②:“利用(1)中的结论.可先讨论函数f (x)＝a x 的图像与直线y＝x的公共点的个数.为此可构造函数F (x)＝a x-x的最小值进行讨论 .请参考上述观点.讨论函数f (x)＝ax 与其反函数f -1 (x)＝logax图像公共点的个数.解, 1)设点M(x0, y0)是函数y ＝ f (x)的图像与其反函数y ＝ f -1 (x)的图像的公点.则有:y0＝f (x0) . y0 ＝ f -1 (x0).据反函数的意义有:x0 ＝ f (y0). ---2分所以:y0 ＝ f (x0)且同时有x0 ＝ f (y0).若x0 ＜ y0 .因为函数y ＝ f (x) 是其定义域上是增函数.所以有:f (x0) ＜ f (y0) .即y0 ＜ x0 与 x0 ＜ y0矛盾.这说明x0 ＜ y0是错误的.同理可证x0 ＞ y0也是错误的.所以x0 ＝ y0 .即函数y ＝ f (x)的图像与其反函数y ＝ f -1 (x)的图像有公共点在直线y ＝ x上, -5分2)构造函数F (x)＝a x-x因为F′ (x)＝ a xlna - 1. --6分令F′ (x)＝ a xlna - 1≥0.

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