（本小题满分12分）已知函数

（I）若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

（II）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

（Ⅲ）求证：解：（1），其定义域为，则令，

则，

当时，；当时，

在（0，1）上单调递增，在上单调递减，

即当时，函数取得极大值.                                       （3分）

函数在区间上存在极值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，则，

，即在上单调递增，                          （7分）

，从而，故在上单调递增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，当时，恒成立，即，

令，则，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。

已知函数f（x）=在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=，证明：x₁＜x₀＜x₂．