摘要：25．解:在Rt△AEF和Rt△DEC中. ∵EF⊥CE. ∴∠FEC=90°. ∴∠AEF+∠DEC=90°.而∠ECD+∠DEC=90°. ∴∠AEF=∠ECD． ·········································································· 3分 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ∴Rt△AEF≌Rt△DCE． ········································································· 5分 AE=CD． ········································································· 6分 AD=AE+4． ∵矩形ABCD的周长为32 cm. ∴2(AE+AE+4)=32． ········································································· 8分 解得. AE=6 (cm)． ······································································ 10分
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如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．
(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
分析 (1)利用60°角
的正弦值列式计算即可得解；
(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据A
B、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；
②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
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