摘要：(二)一般式方程 1.概念引入 由直线的点方向式方程和点法向式方程.我们可以发现.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示,那么每一个关于的二元一次方程(.不同时为0)是否都表示一条直线呢? 2.概念形成 直线的一般式方程的定义 直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理.成为的二元一次方程. 反之.任意二元一次方程都是直线方程么?回答是肯定的.首先.当时.方程可化为.根据直线点法向式方程可知.这是过点.以为一个法向量的直线,当时.方程为.由于.方程化为.表示过点且垂直于轴的直线. 所以二元一次方程是直线的方程.叫做直线的一般式方程. 3.例题解析 例1 中.已知..求边的中垂线的一般式方程. 解 直线过中点..则其点法向式方程为.整理为一般式方程. [说明]点法向式方程化为一般式方程. 例2(1)求过点且平行于直线的直线方程, (2)求过点且垂直于直线的直线方程. 解 (1)解一:.又直线过点.故直线的方程为化简得. 解二:又直线过点.故直线的点法向式方程为化简得. 解三:设与平行的直线方程为.又直线过点故..所以直线的方程是. (2)解一:的法向量为所求直线的方向向量.又直线过点.故直线的方程为化简得. 解二:设与垂直的直线方程为.又直线过点故..所以直线的方程是. [说明]一般地.与直线平行的直线可设为,而与直线垂直的直线可设为. 例3能否把直线方程化为点方向式方程?点法向式方程?若能.它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一?并观察x.y的系数与方向向量和法向量有什么联系? 解: ...-- .4=0-- 能够化成点方向式的形式.并且有无数个! 所有的方向向量之间存在:一个非零实数.使得, 易得点法向式方程也是不唯一的.并且有无数个! 所有的法向量之间存在:一个非零实数.使得 变式:直线的方向向量可以表示为 直线的法向量可以表示为 [说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.

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