如图，在平面直角坐标系xOy中．椭圆C：

x2

2

+y2=1的右焦点为F，右准线为l．
（1）求到点F和直线l的距离相等的点G的轨迹方程．
（2）过点F作直线交椭圆C于点A，B，又直线OA交l于点T，若

OT

=2

OA

，求线段AB的长；
（3）已知点M的坐标为（x₀，y₀），x₀≠0，直线OM交直线

x0x

2

+y0y=1于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数λ，使得

OP

2=λ

OM

•

ON

？，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+t（t≠0）与椭圆C相交于M，N两点，直线AO平分线段MN，求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程．

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

5

5

，过F₁的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF₂周长为4

5

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过椭圆中心，且斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，若△APB的面积为

40

9

，求k的值．

（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为

3

2

的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①f(

k

2

)=6；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(

k

2

，0)对称；⑤函数f(m)=3

3

时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）