摘要：11．已知二次函数f(x)的二次项系数为a.且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)． (1)若方程f(x)+6a＝0有两个相等的根.求f(x)的解析式, (2)若f(x)的最大值为正数.求实数a的取值范围． 解:本题主要考查二次函数.方程的根与系数关系.考查运用数学知识解决问题的能力． (1)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3)． ∴f(x)+2x＝a(x-1)(x-3).且a<0.因而 f(x)＝a(x-1)(x-3)-2x＝ax2-(2+4a)x+3a. ① 由方程f(x)+6a＝0.得ax2-(2+4a)x+9a＝0.② ∵方程②有两个相等的根.∴Δ＝[-(2+4a)]2-4a·9a＝0.即5a2-4a-1＝0.解得a＝1或a＝-. 由于a<0.舍去a＝1.将a＝-代入①得 f(x)的解析式为f(x)＝-x2-x-. (2)由f(x)＝ax2-2(1+2a)x+3a ＝a2- 及a<0.可得f(x)的最大值为-. 由 解得a<-2-或-2+<a<0. 故当f(x)的最大值为正数时.实数a的取值范围是 ．

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