题目内容
已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3).（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.
解析：因为本题给出解析式特征，可采取待定系数法求解.
解：（1）∵f(x)+2x＞0的解集为(1,3),f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0，?
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①?
由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②?
因为方程②有两个相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a
9a=0，即5a2-4a-1=0.
解得a=1或a=-
.
由于a＜0,舍去a=1.?
将a=-
代入①得f(x)的解析式为f(x)=-
x2-
x-
.
（2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-
)2-
及a＜0,可得f(x)的最大值为-
.
由
,解得a＜-2-
或-2+
＜a＜0.
?故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞,-2-
)∪(-2+
,0).
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