摘要：1三角形内角和性质 定理:在△ABC中.A.B.C分别为三个内角.则A+B+C＝18O° 推论(1)B＝6O°2B＝A+C 推论(2)若A＜9O°.则有 sinB＞cosC.cosB＜sinC.tanB＞cotC.cotB＜tanC 推论(3)sin(A+B)＝sinC.cos(A+B)＝-cosC. tan(A+B)＝-tanC.cot(A+B)＝-cotC 推论(4) 2三角形内角和性质应用举例 例1 △ABC中.若求证:A.B.C成等差数列 证明:由条件得. 由推论(3)得sin(B+C)＝sinA∴sin(B-C)＝sinA-sinC ∴sin(B-C)-sin(B+C)＝-sinC.即2cosBsinC＝sinC ∵sinC≠O.∴cosB＝.∴B＝ 故由推论(1)得2B＝A+C所以A.B.C成等差数列 例2 在锐角△ABC中.求证:sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC 证明:∵△ABC是锐角三角形.∴A＜9O°.根据推论(2)有:sinB＞cosC ① B＜9O°.根据推论(2)有:sinC＞cosA ② C＜9O°.根据推论(2)有sinA＞cosB ③ ∴①+②+③得:sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC 例3已知△ABC.求证(a-b)cot+(b-c)cot+(c-a)cot＝O 证明:根据正弦定理和推论(4).有 (a-b)cot＝2R(sinA-sinB)tan＝4Rsinsin. ∴(a-b)cot＝2R(cosB-cosA) 同理.(b-c)cot＝2R(cosC-cosB), (c-a)cot＝2R(cosA-cosC) 三式相加可得(a-b)cot+(b-c)cot+(c-a)cot＝O

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