摘要：25．如图9.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D.与边AC相交于点E.连结DE并延长.与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B＝30°时.连结AP.若△AEP与△BDP相似.求CE的长, (2)若CE=2.BD=BC.求∠BPD的正切值, (3)若.设CE=x.△ABC的周长为y.求y关于x的函数关系式. 图9 图10 图11 (1)解:∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60° ∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30° ∴三角形BDP为等腰三角形 ∵△AEP与△BDP相似 ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1 ∴在RT△ECP中.EC=EP= (2)过点D作DQ⊥AC于点Q.且设AQ=a.BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB＝90° ∴△ADQ与△ABC相似 ∴ 即.∴ ∵在RT△ADQ中 ∵ ∴ 解之得x=4.即BC=4 过点C作CF//DP ∴△ADE与△AFC相似. ∴.即AF=AC.即DF=EC=2, ∴BF=DF=2 ∵△BFC与△BDP相似 ∴.即:BC=CP=4 ∴tan∠BPD= (3)过D点作DQ⊥AC于点Q.则△DQE与△PCE相似,设AQ=a.则QE=1-a ∴且 ∴ ∵在Rt△ADQ中.据勾股定理得: 即:.解之得 ∵△ADQ与△ABC相似 ∴ ∴ ∴三角形ABC的周长 即:.其中x>0

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