已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-k

x2+1

的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+

3

5

 (-

1

2

≤x≤

1

2

， 0＜m＜

1

2

)，若对任意的x1∈[-

1

2

，

1

2

]，总存在x2∈[-

1

2

，

1

2

]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

（2012•蓝山县模拟）设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，数列{a_n}满足：a₁=f（1）+1，f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0．设S_n=a12a22+a22a32+a32a42+…+an-12an2+an2an+12．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并求S_n关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正项数列{b_n}满足：bn2=g（

1

2n

），T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较4S_n与T_n的大小．

（2014•达州一模）已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（I）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，m+

1

2

）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意k∈[-1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

（2013•怀化二模）已知f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=x²-2mx+m，若对任意的x1∈[

1

2

，2]，总存在x2∈[

1

2

，2]，使得、g（x₁）≥f（x₂）-lnx₂，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a=

1

2

时，判断证明f（x）的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，试求实数a的取值范围．