Question

（2013•怀化二模）已知f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=x²-2mx+m，若对任意的x1∈[

1

2

，2]，总存在x2∈[

1

2

，2]，使得、g（x₁）≥f（x₂）-lnx₂，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由f（x）在x=1与x=

1

2

处都取得极值，得f'（1）=0，f′(

1

2

)=0，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；
（Ⅱ）对任意的x1∈[

1

2

，2]，总存在x2∈[

1

2

，2]，使得g（x₁）≥f（x₂）-lnx₂，等价于g（x）_min≥[f（x）-lnx]_min，利用函数单调性易求[f（x）-lnx]_min，按照对称轴在区间[

1

2

，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）_min，然后解不等式g（x）_min≥[f（x）-lnx]_min可得答案；

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，   ∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

，
∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值，
∴f'（1）=0，f′(

1

2

)=0，∴

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得a=b=-

1

3

，
当a=b=-

1

3

时，f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=

-2(x-1)(x- 1 2 )

3x2

，
所以函数f（x）在x=1与x=

1

2

处都取得极值．
∴a=b=-

1

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数y=f(x)-lnx=-

2

3

x+

1

3x

在[

1

2

，2]上递减，
∴[f（x）-g（x）]_min=-

2

3

×2+

1

3×2

=-

7

6

，
又函数g（x）=x²-2mx+m图象的对称轴是x=m，
（1）当m＜

1

2

时：g(x)min=g(

1

2

)=

1

4

，依题意有 

1

4

≥-

7

6

成立，∴m＜

1

2

；
（2）当

1

2

≤m≤2时：g(x)min=g(m)=m-m2，
∴m-m2≥-

7

6

，即6m²-6m-7≤0，解得：

3- 51

6

≤m≤

3+ 51

6

，
又∵

1

2

≤m≤2，∴

1

2

≤m≤

3+ 51

6

；
（3）当m＞2时，g（x）_min=g（2）=4-3m，∴4-3m≥-

7

6

，解得m≤

31

18

，
又 m＞2，∴m∈?；
综上：m≤

3+ 51

6

，
所以，实数m的取值范围为(-∞，

3+ 51

6

]．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的解决，考查分类讨论思想、转化思想．