摘要：(三)解答题: 9.已知双曲线的左.右焦点分别为..过点的动直线与双曲线相交于两点. (I)若动点满足(其中为坐标原点).求点的轨迹方程, (II)在轴上是否存在定点.使·为常数?若存在.求出点的坐标,若不存在.请说明理由. 解:由条件知..设.． 解法一:(I)设.则则.. .由得 即 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时..即． 又因为两点在双曲线上.所以..两式相减得 .即． 将代入上式.化简得． 当与轴垂直时..求得.也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． (II)假设在轴上存在定点.使为常数． 当不与轴垂直时.设直线的方程是． 代入有． 则是上述方程的两个实根.所以.. 于是 ． 因为是与无关的常数.所以.即.此时=． 当与轴垂直时.点的坐标可分别设为.. 此时． 故在轴上存在定点.使为常数． 解法二:有 当不与轴垂直时.设直线的方程是． 代入有． 则是上述方程的两个实根.所以． ． 由①②③得．-------------------④ ．--------------------------⑤ 当时..由④⑤得..将其代入⑤有 ．整理得． 当时.点的坐标为.满足上述方程． 当与轴垂直时..求得.也满足上述方程． 故点的轨迹方程是． (II)假设在轴上存在定点点.使为常数. 当不与轴垂直时.由(I)有.． 以上同解法一的(II)．

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