摘要：1．已知:如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.∠DCB = 90°.E是AD的中点.点P是BC边上的动点.EP与BD相交于点O. (1)当P点在BC边上运动时.求证:△BOP∽△DOE, 中的相似比为.若AD︰BC = 2︰3. 请探究:当k为下列三种情况时.四边形ABPE是什么四边形?①当= 1时.是 ,②当= 2时.是 ,③当= 3时.是 . 并证明= 2时的结论. 解: (1)证明:∵AD∥BC ∴∠OBP = ∠ODE -----1分 在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE ∠BOP = ∠DOE -------2分 ∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两 三角形相似) -----3分 (2)① 平行四边形 -------4分 ② 直角梯形 -------5分 ③ 等腰梯形 -------6分 证明:∵k = 2时. ∴ BP = 2DE = AD 又∵AD︰BC = 2︰3 BC = AD PC = BC - BP =AD - AD =AD = ED ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90° ∴四边形PCDE是矩形 -------7分 ∴ ∠EPB = 90° -------8分 又∵ 在直角梯形ABCD中 AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行 四边形ABPE是直角梯形 ---------9分 (本题其它证法参照此标准给分)

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