已知函数f(x)=ax+

b

x

（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，

5

2

)两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；
（3）若不等式

4a

3

-2a≥f(x)对任意的x∈[

1

2

，3]恒成立，求实数a的取值集合．

已知函数f(x)=ax2+

x

e

-lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）．
（1）任取两个不等的正数x₁、x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，求：a的取值范围；
（2）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解．

已知函数f(x)=ax+

2

x

+6，其中a为实常数．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）已知a=

3

4

，P₁，P₂是函数f（x）图象上两点，若在点P₁，P₂处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x₀时，若

s(x)-t(x)

x-x0

＞0在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x²f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=2(ln

1+x

+

1

2

x2)-ax，其中a为常数．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：D

n

k=2

k-1

k2

＜ln

n+1

2

．