摘要：(Ⅰ)2004年高考数学函数综合题选 1.设函数 (1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1; (2) 点P (x0, y0 ) (0< x0 <1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达). 证明:(I) 故f(x)在(0.1上是减函数.而在上是增函数.由0<a<b且f得0<a<1<b和. 故 (II)0<x<1时. 曲线y=f(x)在点P(x0.y0)处的切线方程为: ∴切线与x轴.y轴正向的交点为 故所求三角形面积听表达式为: 2. 设函数 其中常数m为整数. (1) 当m为何值时, 在[a, b ]上连续,且g异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-m-m ,e2m-m ]内有两个实根. =x-ln连续.且 当x∈时,f ’为减函数,f 当x∈时,f ’为增函数,f 根据函数极值判别方法.f(1-m)=1-m为极小值.而且 对x∈≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时.f(x) ≥1-m≥0 知.当整数m>1时.f(1-m)=1-m<0, 函数f,在 上为连续减函数. 由所给定理知.存在唯一的 而当整数m>1时. 类似地.当整数m>1时.函数f,在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号.由所给定理知.存在唯一的,使 故当m>1时.方程f(x)=0在内有两个实根. 3．(2004年春季高考北京卷.19)某厂生产某种零件.每个零件的成本为40元.出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购.决定当一次订购量超过100个时.每多订购一个.订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元.但实际出厂单价不能低于51元. (I)当一次订购量为多少个时.零件的实际出厂单价恰降为51元? (II)设一次订购量为x个.零件的实际出厂单价为P元.写出函数的表达式, (III)当销售商一次订购500个零件时.该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个.利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价-成本) 分析:本小题主要考查函数的基本知识.考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解:(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时.一次订购量为个.则 因此.当一次订购量为550个时.每个零件的实际出厂价恰好降为51元. (II)当时. 当时. 当时. 所以 (III)设销售商的一次订购量为x个时.工厂获得的利润为L元.则 当时.,当时. 因此.当销售商一次订购500个零件时.该厂获得的利润是6000元, 如果订购1000个.利润是11000元. 4．已知f(x)=(x∈R)在区间[-1.1]上是增函数. (Ⅰ)求实数a的值组成的集合A, (Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1.x2.试问:是否存在实数m.使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1.1]恒成立?若存在.求m的取值范围,若不存在.请说明理由. 分析:本小题主要考查函数的单调性.导数的应用和不等式等有关知识.考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解:(Ⅰ)f＇(x)== . ∵f(x)在[-1.1]上是增函数. ∴f＇(x)≥0对x∈[-1.1]恒成立. 即x2-ax-2≤0对x∈[-1.1]恒成立. ① 设(x)=x2-ax-2. 方法一: ① ∵对x∈[-1.1].f(x)是连续函数.且只有当a=1时.f＇(-1)=0以及当a=-1时.f＇(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二: ≥0. <0. ① 或 (-1)=1+a-2≤0 (1)=1-a-2≤0 0≤a≤1 或 -1≤a≤0 -1≤a≤1. ∵对x∈[-1.1].f(x)是连续函数.且只有当a=1时.f＇(-1)=0以及当a=-1时.f＇(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由=.得x2-ax-2=0. ∵△=a2+8>0 ∴x1.x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根. x1+x2=a. ∴ 从而|x1-x2|==. x1x2=-2. ∵-1≤a≤1.∴|x1-x2|=≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1.1]恒成立. 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1.1]恒成立. 即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1.1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2). 方法一: g(-1)=m2-m-2≥0. ② g(1)=m2+m-2≥0. m≥2或m≤-2. 所以.存在实数m.使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1.1]恒成立.其取值范围是{m|m≥2.或m≤-2}. 方法二: 当m=0时.②显然不成立, 当m≠0时. m>0. m<0. ② 或 g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0 m≥2或m≤-2. 所以.存在实数m.使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1.1]恒成立.其取值范围是{m|m≥2.或m≤-2}. 5．已知函数满足下列条件:对任意的实数x1.x2都有 和.其中是大于0的常数. 设实数a0.a.b满足 和 (Ⅰ)证明.并且不存在.使得, (Ⅱ)证明, (Ⅲ)证明. 分析:本小题主要考查函数.不等式等基本知识.以及综合运用数学知识解决问题的能力. 证法一:(I)任取 和 ② 可知 . 从而 . 假设有①式知 ∴不存在 (II)由 ③ 可知 ④ 由①式.得 ⑤ 由和②式知. ⑥ 由⑤.⑥代入④式.得 (III)由③式可知 证法二:题目中涉及了八个不同的字母参数以及它们的抽象函数值.参数量太多.让考生们在短时间内难以理清头绪.因而解决问题的关键就在于“消元 --把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示.然而再进行运算证明.“消元 的模式并不难唯一.这里提供一个与标准解答不同的“消元 设想.供参考. 题设中两个主要条件是关于与的齐次式.而点.是函数图象上的两个点.是连接这两点的弦的斜率.若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示.则可以借助斜率进行“整体消元 . 设为不相等的两实数.则由题设条件可得: 和. 令.则对任意相异实数.有及.即. 由此即得,又对任意有.得函数在R上单调增.所以函数是R上的单调增函数. 如果.则.因为.所以.即不存在.使得.于是.(Ⅰ)的结论成立. 考虑结论(Ⅱ): 因为.故原不等式为, 当时.左右两边相等, 当时..且.则原不等式即为: . 令.则原不等式化为.即为. 因为.则.所以成立.即(Ⅱ)中结论成立. 再看结论(Ⅲ): 原不等式即. 即.注意到.则.则原不等式即为 即.令.则原不等式即化为 .即.因为.则. 所以成立.即(Ⅲ)的结论成立. 在一般的“消元 方法中.本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大.尤其是.许多尖子学生证明了(Ⅱ)的结论而不能解决(Ⅲ). 借助斜率k“整体消元 的想法把中的不等关系都转化为相同的不等关系.然后由条件推证.有独到之处. (Ⅱ)函数的概念型问题 函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义.一是变量观点下的定义.一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵.而应在判断是否构成函数关系.两个函数关系是否相同等问题中得到深化.更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是: 1．深化对函数概念的理解.明确函数三要素的作用.并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系． 2．系统归纳求函数定义域.值域.解析式.反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时.注意对换元.待定系数法等数学思想方法的运用． 3．通过对分段定义函数.复合函数.抽象函数等的认识.进一步体会函数关系的本质.进一步树立运动变化.相互联系.制约的函数思想.为函数思想的广泛运用打好基础． 本部分内容的重点是不仅从认识上.而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求.对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识.对于给出解析式的函数.会求其反函数． 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式 的片面认识.真正明确不仅函数的对应法则.而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用.并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素.求反函数等课题的综合性.不仅要用到解方程.解不等式等知识.还要用到换元思想.方程思想等与函数有关概念的结合． 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础.不能仅满足会背诵定义.会做一些有关题目.要从联系.应用的角度求得理解上的深度.还要对确定函数三要素的类型.方法作好系统梳理.这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识.而不是急于做过难的综合题． ㈠深化对函数概念的认识 例1．下列函数中.不存在反函数的是 ( ) 分析:处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数.看是否存在是不好的.因为过程太繁琐． 从概念看.这里应判断对于给出函数值域内的任意值.依据相应的对应法则.是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应.因此可作出给定函数的图象.用数形结合法作判断.这是常用方法.请读者自己一试． 此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D.y=3是其值域内一个值.但若y=3.则可能x=2.也可能x=-1．依据概念.则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D． 说明:不论采取什么思路.理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键． 由于函数三要素在函数概念中的重要地位.那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题． ㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1．求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表.实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字 例2．已知函数定义域为(0.2).求下列函数的定义域: 分析:x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数.其中x是自变量.u是中间变量．由于f是同一个函数.故(1)为已知0＜u＜2.即0＜x＜2．求x的取值范围． 解:(1)由0＜x＜2. 得 说明:本例(1)是求函数定义域的第二种类型.即不给出f的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义.用好换元法．(2)是二种类型的综合． 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系.求其定义域.后面还会涉及到． 2．求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类:求由常见函数复合而成的函数的值域,(3)求由常见函数作某些“运算 而得函数的值域． 3．求函数解析式举例 例3．已知xy＜0.并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能.求出其解析式.定义域和值域,如果不能.请说明理由． 分析: 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程.仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x).但加上条件xy＜0呢? 所以 因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为．且不难得到其值域为． 说明:本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程.在一定条件下.方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题: (1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数.二次函数.幂函数.指数函数.对数函数.三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的.故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例． (2)从生产.生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识.生活经验与函数概念结合起来.举例也宜放在函数复习的以后部分． (Ⅲ)函数与方程的思想方法 函数思想.是指用函数的概念和性质去分析问题.转化问题和解决问题.方程思想.是从问题的数量关系入手.运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程.不等式.或方程与不等式的混合组).然后通过解方程来使问题获解.有时.还实现函数与方程的互相转化.接轨.达到解决问题的目的. 方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题.函数和多元方程没有什么本质的区别.如函数y＝f(x).就可以看作关于x.y的二元方程f(x)-y＝0.可以说.函数的研究离不开方程.列方程.解方程和研究方程的特性.都是应用方程思想时需要重点考虑的. 函数描述了自然界中数量之间的关系.函数思想通过提出问题的数学特征.建立函数关系型的数学模型.从而进行研究.一般地.函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题.经常利用的性质是:f(x).f(x)的单调性.奇偶性.周期性.最大值和最小值.图像变换等.要求我们熟练掌握的是一次函数.二次函数.指数函数.对数函数.三角函数的具体特性.在解题中.善于挖掘题目中的隐含条件.构造出函数解析式和妙用函数的性质.是应用函数思想的关键.对所给的问题观察.分析.判断比较深入.充分.全面时.才能产生由此及彼的联系.构造出函数原型.另外.方程问题.不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题.即用函数思想解答非函数问题.

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