摘要：20．已知函数f (x) =当x = x1.x = x2时有极值.且|x1| + |x2| = 2． (Ⅰ)求a.b的关系式, (Ⅱ)证明:, (Ⅲ)若函数h (x) = f′(x) – 2a (x – x1).证明:当x1＜x＜2且x1＜0时|h (x)|≤4a． [解析](Ⅰ)x1.x2是f′(x) = ax2 + bx – a2 = 0的两根 ∴x1 + x2 =.x1x2 = –a＜0.x1.x2异号 ∴|x1| + |x2| = |x1 – x2| = ∴b2 = 4a2 – 4a3 (Ⅱ)∵b2≥0.∴4a2 – 4a3≥0.得0＜a≤1.设g (a) = 4a2 – 4a3.g′(a) = 8a – 12a2 = 4a(2 – 3a) ∴g (a)在上为递增函数.为递减函数 g (a)max = (Ⅲ)∵x1.x2是f′(x) = 0的两根 ∴f′(x) = a (x – x1) (x – x2) ∴h (x) = a (x – x1) (x – x2) – 2a (x – x1) = a (x – x1) (x – x2 – 2) ∴|h (x)| = |a (x – x1) (x – x2 – 2)|≤a 又∵x＞x1.∴|x – x1| = x – x1．又∵x1＜0.x1x2 = –a＜0.∴x2＞0 x2 + 2＞2且x＜2 ∴|x – x2 – 2| = |x2 + 2 – x| = x2 + 2 – x.|x2 – x1 | = x2 – x1 = 2 ∴ ∴|h (x)|≤4a．
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(本小题满分12分)
已知函数f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x2，记F(x)=g(x)-f(x)
（Ⅰ）判断F(x)的单调性；
（Ⅱ）当a≥时，若x≥1，求证：g(x-1)≥f()；
（Ⅲ）若F(x)的极值为，问是否存在实数k，使方程g(x)-f(1+x2)=k有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。
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(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
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(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
（1）当a＝时，判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值；
（2）(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>1恒成立，试求实数a的取值范围．
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