4．过椭圆的左焦点作椭圆的弦.求弦中点的轨迹方程．——青夏教育精英家教网——

摘要：4．过椭圆的左焦点作椭圆的弦.求弦中点的轨迹方程．

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过椭圆＝1的左焦点作直线和椭圆交于A，B两点，若弦AB的长恰好等于短轴长，求这直线的方程．

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过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，求椭圆＋y²＝1的“左特征点”M的坐标．

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=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，过F₁作垂直于椭圆长轴的弦|PQ|，其长度为3．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过F₁的直线l交椭圆于A，B两点．判断是否存在直线l使得∠AF₂B为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围．

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已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，

）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

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已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；

（1）求椭圆的离心率；

（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．

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