摘要： 应掌握数列求和的常用方法:应用公式(必须要记住几个常见数列的前n项和).折项分组.裂项相消(“裂 成某个数列的相邻两项差后叠加).错位相减(适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列).倒序相加等.要根据不同数列的特点合理选择求和方法(其中最重要.最常见的是裂项). [举例]①数列中.若.数列满足.则数列的前项和为 . 解析:求的过程请读者自己完成. =. ∴数列的前项和为:.一般地:通项为分式的数列求和多用“裂项 .“裂项 是“通分 的逆运算.可以先“裂开 再回头通分“凑 系数. ②已知=.Sn为数列{}的前n项和.=nSn.求数列{}的前n项和Tn, 解析:Sn=-2=n×-2n, Tn=1×22+2×23+3×24+-+ n×-2 (视数列{}的前n项和为两个数列的前n项和的差.此即“分组求和 )记: Rn=1×22+2×23+3×24+-+ n×.求Rn用“错位相减 法: - Rn=2n+2-4-n×2n+2=-(n-1) 2n+2-4,∴Rn=(n-1) 2n+2+4 Tn=(n-1) 2n+2+4-n(n+1). 注:“错位相减 法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用.“相减 后的n+1项中.“掐头去尾 中间的n-1项成等比数列. ③= 解析:S== 用“倒序相加 :得2S==n2n, ∴S=n2n-1 . [巩固]设数列是公差不为零的等差数列.其前项之和为.已知与的等比中项为.且与的等差中项为1.(1)求数列的通项公式, (2)若数列的前项之和为.其中.问是否存在实数M.使得对任意正整数都成立?若存在.试求出实数M的范围,若不存在.试说明理由.

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