摘要：(18) 本题主要考查正弦.余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分. (Ⅰ) 解: 利用正弦定理, 得 sinCcosB+sinBcosC = 4sinAcosA, sin(B+C) = 4sinAcosA, 即 sinA = 4cosAsinA, 所以cosA =. -------- , 得 sinA =, 由题意,得 bcsinA＝, 所以bc = 8, 因此2 . ------- (19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列.数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力.满分14分. (Ⅰ) 解: 记“取出的数各位数字互不相同 为事件B, 则 P(B)＝ . ------- (Ⅱ) 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是 0 1 2 P ------- 所以的数学期望 E＝0×+1×+2×= . ------- (20) 本题主要考查空间线线.线面.面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分15分. 方法一: (Ⅰ) 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角-EF-的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz. 在Rt△BMC中, 由∠BCM＝, CB = 4, 得 CM =, BM =2. 在Rt△BMP中, 由∠BMP＝, BM =2, 得 MP = 1, BP =. 故P, B(0, 0,), C(-1,-, 0), M. 由∠ACM＝, 得 A(1,-4, 0). 所以= (1,,0), = (2,-,0), 则 -10, cos∠ACP = -, sin∠ACP = . 因此S△ACP＝. ------- (Ⅱ) 解:＝(1,-4,-), ＝(0,-2,0), 24, cos<>=, 所以AB与EF所成角的正切值为. ------- 方法二: (Ⅰ) 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角-EF-的平面角. 在Rt△BMC中, 由∠BCM＝, CB = 4, 得 CM =, BM=2. 在Rt△BMP中, 由∠BMP＝, BM=2, 得 MP=1. 在Rt△CMP中, 由CM =, MP=1, 得 CP=, cos∠PCM＝, sin∠PCM =. 故 sin∠ACP = sin(-∠PCM)＝. 所以S△ACP＝. ------- (Ⅱ) 解: 如图, 过点A作AQ∥EF, 交MP于点Q , 则∠BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ . 在△BMQ中, 由∠BMQ＝, BM＝MQ＝2, 得 BQ = 2. 在Rt△BAQ中, 由AQ＝AC+CM ＝4, BQ = 2, 得 tan∠BAQ =. 因此AB与EF所成角的正切值为. ------- (21) 本题主要考查抛物线的几何性质.直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分. (Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay, 则, 即a = 4. 故所求抛物线C的方程为x2 = 4y . ------- (Ⅱ) 解: 设P(x1, y1), Q(x2, y2), 则抛物线C在点P处的切线方程是 , 直线PQ的方程是 . 将上式代入抛物线C的方程, 得 , 故 x1+x2 =, x1x2 =-8-4y1 , 所以 x2=-x1 , y2=+y1+4 . 而＝(x1, y1-1), ＝(x2 , y2-1) , ×＝x1 x2+(y1-1) (y2-1) ＝x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1 ＝-4(2+y1)+ y1(+y1+4)-(+2y1+4)+1 ＝-2y1 --7 ＝(+2y1+1)-4(+y1+2) ＝(y1+1)2- ＝ ＝0, 故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是 . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P (22) 本题主要考查函数的基本性质.导数的概念.导数的应用等基础知识.同时考查逻辑推理能力和创新意识.满分14分. (Ⅰ) 解: 当a = 0时, f (x)＝x3-4x2+5x , >0, 所以 f (x)的单调递增区间为, . ------- (Ⅱ) 解: 一方面由题意, 得 即 ; 另一方面当时, f (x) = (-2x3+9x2-12x+4)a+x3-4x2+5x , 令g(a) = (-2x3+9x2-12x+4)a+x3-4x2+5x, 则 g(a) ≤ max{ g(0), g() } = max{x3-4x2+5x , (-2x3+9x2-12x+4)+x3-4x2+5x } = max{x3-4x2+5x , x2-x+2 }, f (x) = g(a) ≤ max{x3-4x2+5x , x2-x+2 }, 又{x3-4x2+5x}=2, {x2-x+2}=2, 且f (2)＝2, 所以当时, f (x)在区间[0,2]上的最大值是2. 综上, 所求 a的取值范围是. -------

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