如图，边长为2的正方形ABCD，E是BC的中点，沿AE，DE将折起，使得B与C重合于O．

（Ⅰ）设Q为AE的中点，证明：QDAO；

（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．

【解析】第一问中，利用线线垂直，得到线面垂直，然后利用性质定理得到线线垂直。取AO中点M，连接MQ，DM，由题意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因为Q为AE的中点，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二问中，作MNAE,垂足为N，连接DN

因为AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因为AODM ，DM平面AOE

因为MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

（1）取AO中点M，连接MQ，DM，由题意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因为Q为AE的中点，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

（2）作MNAE,垂足为N，连接DN

因为AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因为AODM ，DM平面AOE

因为MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值为

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【解析】(1)解： 的定义域为

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

因此，在处取得最小值，故由题意，所以

（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得

①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

故不合题意.

综上，k的最小值为.

（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

当时，

在（2）中取，得 ，

从而

所以有

综上，，

已知是等差数列，其前n项和为S_n，是等比数列，且，.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明（）.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由，得，，.

由条件，得方程组，解得

所以，，.

（2）证明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：数学归纳法）

①  当n=1时，，，故等式成立.

②  假设当n=k时等式成立，即，则当n=k+1时，有：

即，因此n=k+1时等式也成立

由①和②，可知对任意，成立.

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性； 

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

    1.选修4－1：几何证明选讲

    如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点

（Ⅰ）证明：∽△;

（Ⅱ）若的面积，求的大小.

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.