记函数fn(x)=a•xn-1(a∈R，n∈N*)的导函数为

f

′ n

(x)，已知

f

′ 3

(2)=12．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）设函数gn(x)=fn(x)-n2Inx，试问：是否存在正整数n使得函数g_n（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数x₀和m（m＞0，且m≠1）满足：

f ′ n (x0)

f ′ n+1 (x0)

=

fn(m)

fn+1(m)

，试比较x₀与m的大小，并加以证明．

已知函数f(x)=

1

2

e2x-e(ex+e-x)-x．
（1）求函数f（x）的极值．（2）是否存在正整数a，使得方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上有三个不同的实根，若存在，试确定a的值；若不存在，请说明理由．

（2012•成都一模）已知函数f（x）在[a，b]上连续，定义

f1(x)=f(t)min，x∈[a，b]，a≤t≤x f2(x)=f(t)max，x∈[a，b]，a≤t≤x

；其中f（x）_min（x∈D）表示f（x）在D上的最小值，f（x）_max（x∈D）表示f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．有下列命题：
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=1，x∈[0，π]；
②若f（x）=2^x，x∈[-1，4]，则f2(x)=2x，x∈[-1，4]
③f（x）=x为[1，2]上的1阶收缩函数；
④f（x）=x²为[1，4]上的5阶收缩函数．
其中你认为正确的所有命题的序号为．

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．
（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；
（2）已知f(1)=

3

2

，函数g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对x∈[-

1

2

，

1

2

]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．