摘要： 三角函数型的抽象函数 f(x)＝tgx-------------------------- f(x+y)＝ f(x)＝cotx------------------------ f(x+y)＝ 例1已知函数f(x)对任意实数x.y均有f(x+y)＝f(x)+f(y).且当x>0时.f(x)>0.f(-1)＝ -2求f(x)在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)＝f[(x2-x1)+x1]＝f(x2-x1)+f(x1)),再根据区间求其值域. 例2已知函数f(x)对任意实数x.y均有f(x+y)+2＝f(x)+f(y).且当x>0时.f(x)>2.f(3)＝ 5.求不等式 f(a2-2a-2)<3的解. 分析:先证明函数f(x)在R上是增函数,再求出f(1)＝3,最后脱去函数符号. 例3已知函数f(x)对任意实数x.y都有f(xy)＝f(x)f(y).且f(-1)＝1.f(27)＝9.当0≤x＜1时.f(x)∈[0.1]. (1) 判断f(x)的奇偶性, (2) 判断f(x)在[0.+∞]上的单调性.并给出证明, (3) 若a≥0且f(a+1)≤.求a的取值范围. 分析:(1)令y＝-1, (2)利用f(x1)＝f(·x2)＝f()f(x2), (3)0≤a≤2. 例4设函数f(x)的定义域是.满足条件:存在x1≠x2.使得f(x1)≠f(x2),对任何x和y.f(x+y)＝f(x)f(y)成立.求: (1) f(0), (2) 对任意值x.判断f(x)值的符号. 分析:(1)令x= y＝0,(2)令y＝x≠0. 例5是否存在函数f(x).使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N,②f(a+b)＝ f(a)f(b).a.b∈N,③f(2)＝4.同时成立?若存在.求出f(x)的解析式.若不存在.说明理由. 分析:先猜出f(x)＝2x,再用数学归纳法证明. 例6设f(x)是定义在上的单调增函数.满足f(x·y)＝f(x)+f(y).f(3)＝1.求: (1) f(1), (2) 若f(x)+f(x-8)≤2.求x的取值范围. 分析:(1)利用3＝1×3, (2)利用函数的单调性和已知关系式. 例7设函数y＝ f(x)的反函数是y＝g(x).如果f(ab)＝f(a)+f(b).那么g(a+b)＝g(a)·g(b)是否正确.试说明理由. 分析:设f(a)＝m.f(b)＝n.则g(m)＝a.g(n)＝b. 进而m+n＝f(a)+f(b)＝ f(ab)＝f [g(m)g(n)]-. 例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称.且满足以下三个条件: ① x1.x2是定义域中的数时.有f(x1-x2)＝, ② f(a)＝ -1(a＞0.a是定义域中的一个数), ③ 当0＜x＜2a时.f(x)＜0. 试问: (1) f(x)的奇偶性如何?说明理由, (2) 在(0.4a)上.f(x)的单调性如何?说明理由. 分析:(1)利用f [-(x1-x2)]＝ -f [(x1-x2)].判定f(x)是奇函数, (3) 先证明f(x)在(0.2a)上是增函数.再证明其在(2a.4a)上也是增函数. 对于抽象函数的解答题.虽然不可用特殊模型代替求解.但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题.对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此.针对不同的函数要进行适当变通.去寻求特殊模型.从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)＝f(x)+f(y). (1) 求证:f(1)＝f(-1)＝0, (2) 求证:f(x)为偶函数, (3) 若f(x)在上是增函数.解不等式f(x)+f(x-)≤0. 分析:函数模型为:f(x)＝loga|x|(a＞0) (1) 先令x＝y＝1.再令x＝y＝ -1, (2) 令y＝ -1, (3) 由f(x)为偶函数.则f(x)＝f(|x|). 例10已知函数f(x)对一切实数x.y满足f(0)≠0.f(x+y)＝f(x)·f(y).且当x＜0时.f(x)＞1.求证: (1) 当x＞0时.0＜f(x)＜1, (2) f(x)在x∈R上是减函数. 分析:(1)先令x＝y＝0得f(0)＝1.再令y＝-x, (3) 受指数函数单调性的启发: 由f(x+y)＝f(x)f(y)可得f(x-y)＝. 进而由x1＜x2.有＝f(x1-x2)＞1. 练习题:

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