摘要：8．证明:(1)因为 . 所以, (2)因为 . 所以, (3)因为 . 所以, (4)因为 . 所以．
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已知数列
的前
项和为
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设
(
N*).
①证明： 
；
② 求证：
.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
所以
利用放缩法，从此得到结论。
解：(Ⅰ)当
时，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
从而有
，与矛盾，所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
证法二：
，下同证法一.
……10分
证法三：（利用对偶式）设
，
，
则
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当
时, 
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,
即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
从而
.
也即
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先阅读下列不等式的证法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
．
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
．
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论． 查看习题详情和答案>>
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
| 2 |
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
| 2 |
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
| 3 |
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论． 查看习题详情和答案>>
先阅读下列不等式的证法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
．
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
．
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．
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已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
| 2 |
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
| 2 |
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
| 3 |
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．
若a＞b＞c，则
+
≥
证明：因为（a-c）(
+
)=（a-b+b-c）(
+
)=2+
+
∵a＞b＞c∴a-b＞0，b-c＞0；
∴
+
≥2
=2
∴2+
+
≥4∴（a-c）(
+
)≥4
因为a＞c所以a-c＞0
所以
+
≥
类比上述命题及证明思路，回答以下问题：
①若a＞b＞c＞d，比较
+
+
与
的大小，并证明你的猜想；
②若a＞b＞c＞d＞e，且
+
+
+
≥
恒成立，试猜想m的最大值，并写出猜想过程，不要求证明．
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| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 4 |
| a-c |
证明：因为（a-c）(
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
∵a＞b＞c∴a-b＞0，b-c＞0；
∴
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
|
∴2+
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
因为a＞c所以a-c＞0
所以
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 4 |
| a-c |
类比上述命题及证明思路，回答以下问题：
①若a＞b＞c＞d，比较
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 9 |
| a-d |
②若a＞b＞c＞d＞e，且
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 1 |
| d-e |
| m |
| a-e |