摘要：D 2.B 3.C 4.③④ 5.①③④ 例1:证法一 证明:在面AC中.过N作BC的平行线交AB于Q. 则NQ // BC,连结MQ. 在面AC中. 在面APB中. MQ // PB 又 NQ // BC, 面MNQ // 面PBC 直线MN面MNQ MN // 面PBC 证法二 证明: 在BC上取一点E.使. MN//PE.MN//平面PBC. 例2(1)直三棱柱ABC-A1B1C1.底面三边长AC=3.BC=4.AB=5. ∴ AC⊥BC.且BC1在平面ABC内的射影为BC.∴ AC⊥BC1, (2)解法1 设CB1与C1B的交点为E.连结DE. ∵ D是AB的中点.E是BC1的中点.∴ DE//AC1.∵ DE平面CDB1.AC1平面CDB1.∴ AC1//平面CDB1, 解法2 取A1B1中点M.连结C1M.AM. DM.易证四边形ADB1M.CDMC1是平 行四边形.得到AM//DB1.C1M//CD.从而得到AM//平面CDB1.C1M//平面CDB1 (3)∠DEC为所求的异面直线所成的角.其余弦值为. 例3:解法一:(1)取A1B1中点M.连结AM.MC1.设MC1与B1D1相交于点E＇.∵.∴B1E=2 E′D1.又∵D1E=2EB1.∴E′与E重合.∴M.E.C1共线.且.同理.M.F.A三点共线. 且.∴.∴EF∥AC1. (2)连结A1C1. ∵EF是两异面直线B1D1.A1B1的公垂线段.∴EF⊥B1D1.EF⊥A1B.前面已证EF∥AC1.∴AC1⊥B1D1. 又∵AA1⊥平面A1B1C1D1.∴A1C1⊥B1D1.∴A1B1C1D1为正方形.同理.A1B1BA为正方形.∴A1B1=A1A. ∴该长方体为正方体. 解法二:(1)如图.以D为原点.DA.DC.DD1所在直线为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系.设DA=a.DC=b.DD1=c.则E().F().....∴.∴∥. ∵FE与AC1不共线.∴FE∥AC1. (2)∵D1(0.0.c).B1(a.b.c).A1(a.0.c).B(a.b.0). ∴=(a.b.0).=(0.b.-c). ∵EF是两异面直线B1D1.A1B的公垂线段. ∴EF⊥B1D1.EF⊥A1B. ∴.. ∴.b2-c2=0.∴a=b=c. ∴该长方体为正方体. 解法三:(1)设.. 则 又∵. ∴ ∴A1C∥FE (2)由题意知EF是B1D.A1B的公垂线. 即:AC1⊥B1D且AC1⊥A1B =0 =0 即 =0 ∴ ∴该长方体为正方体. 备用题:解法一 作法:①B作BG交于G,②过G作GM // AD交于M, ③连BM.则BM即为所求作 证明: 连BD 正方体ABCD-中.E,F为AB和BC的中点 .又面ABCD EFBM 又GM // AD 面 而 又 面 解法二 解:以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.为z轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为1.则, 设M.于是,,, 恒成立.要使BM平面.只需, 即,而 故当M是的中点时.BM. 冲刺强化训练(21)

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