摘要：函数与方程思想 函数思想.即先构造函数.把给定问题转化对辅助函数的性质研究.得出所需的结论.方程思想.就是把对数学问题的认识.归纳为对方程和方程组的认识. 对于函数思想.应深刻理解一般函数y=f(x).的性质(单调性.奇偶性.周期性.最值和图像变换).熟练掌握基本初等函数的性质.是应用函数思想解题的基础. 函数方程思想常同数形结合.等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效. [例题解析] 例1 (1)已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}.集合B={x|log2(x2-5x+8)=1}.集合C={x|m=1,m≠0.|m|≠1}满足A∩B, A∩C=.求实数a的值, (2)已知集合P={x|x2-5x+4≤0},Q={x|x2-2bx+b+2≤0}满足PQ.求实数b的取值范围. 解 (1)由条件即可得B={2.3}.C={-4.2}.由A∩B.A∩C=.可知3∈A.2A. 将x=3代入集合A的条件得: a2-3a-10=0 ∴a=-2或a=5 当a=-2时.A={x|x2+2x-15=0}={-5,3},符合已知条件. 当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2.3}.不符合条件“A∩C =.故舍去. 综上得:a=-2. (2)显然P={x|1≤x≤4}.记 f(x)=x2-2bx+b+2 若Q为空集.则由Δ<0得: 4b2-4(b+2)<0 ∴-1<b<2. 若Q不是空集.则应满足 即 解之得:2≤b≤ 综上得:-1<b≤ 注 对于稍复杂的某些集合题目.一定要全面考虑并仔细审题.防止解的取值扩大或缩小.本题的第(1)题.在“由3∈A求得a=-2或5 后.应清楚3∈A是其必要条件.但不是充分条件.因此必须进行检验.否则解的取值可能扩大.而第(2)小题.应该分两类(.)讨论.千万不能遗忘这一特殊情形. 例2 已知函数f(x)的定义域为R.且对于一切实数x满足f=f(7-x) ; (2)已知x∈ [2,7]时.f2.求当x∈[16,20]时.函数g的表达式.并求出g(x)的最大值和最小值, =0的一根是0.记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N.求N的最小值. 解 及f的图像关于直线x=2,x=7对称. ∴ f+2]
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已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若对一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
当
时
单调递减；当
时
单调递增，故当
时，
取最小值
于是对一切
恒成立，当且仅当
. ①
令
则
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.
故当
时，
取最大值
.因此，当且仅当
时，①式成立.
综上所述，
的取值集合为
.
（Ⅱ）由题意知，
令
则
令
，则
.当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.故当
，
即
从而
，
又
所以
因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
使
即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.
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（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线
，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
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，使得直线
的极值点，求实数a的值；
上为增函数，求实数a的取值范围；
有实根，求实数b的最大值。