摘要：设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (I) 当a=0时.f上恒成立.求实数m的取值范围; (II) 当m=2时.若函数k在［1,3］上恰有两个不同零点.求实数 a的取值范围; (III) 是否存在实数m.使函数f在公共定义域上具有相同的单调性?若存在.求出m的值.若不存在.说明理由. 解:可得-mlnx≥-x 即 记.则f上恒成立等价于. 求得 当时;;当时. 故在x=e处取得极小值.也是最小值. 即.故. 在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a.在［1,3］上恰有两个相异实根. 令g(x)=x-2lnx,则 当时.,当时. g(x)在[1,2]上是单调递减函数.在上是单调递增函数. 故 又g=3-2ln3 ∵g<a≤g(3), 故a的取值范围是 (3)存在m=.使得函数f在公共定义域上具有相同的单调性 ,函数f. 若.则.函数f上单调递增.不合题意; 若,由可得2x2-m>0.解得x>或x<- 故时.函数的单调递增区间为(,+∞) 单调递减区间为(0, )而h上的单调递减区间是(0,).单调递增区间是(.+∞) 故只需=.解之得m=即当m=时.函数f在其公共定义域上具有相同的单调性. 2007-2008年联考题

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