摘要：(福建省福州三中2010届高三上学期第三次月考)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值, (Ⅱ)对于曲线上的不同两点.如果存在曲线上的点.且.使得曲线在点处的切线.则称为弦的伴随切线.特别地.当时.又称为的伴随切线. (i)求证:曲线的任意一条弦均有伴随切线.并且伴随切线是唯一的, (ii)是否存在曲线.使得曲线的任意一条弦均有伴随切线?若存在.给 出一条这样的曲线.并证明你的结论,若不存在.说明理由． (Ⅰ)------------------- 2分 当..函数在内是增函数. ∴函数没有极值．------------------ 3分 当时.令.得． 当变化时.与变化情况如下表: + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 ∴当时.取得极大值． 综上.当时.没有极值, 当时.的极大值为.没有极小值． -- 5分 设是曲线上的任意两点.要证明 有伴随切线.只需证明存在点.使得 .且点不在上． ------ 7分 即成立.且点不在上． ------- 8分 以下证明方程在内有解． 记.则． 令. ∴在内是减函数.∴． 取.则.即．- 9分 同理可证．∴． ∴函数在内有零点． 即方程在内有解．--- 10分 又对于函数取.则 可知.即点Q不在上． 是增函数.∴的零点是唯一的. 即方程在内有唯一解． 综上.曲线上任意一条弦均有伴随切线.并且伴随切线是唯一的．11分 (ⅱ)取曲线C:.则曲线的任意一条弦均有伴随切线． 证明如下: 设是曲线C上任意两点.则. 又. 即曲线C:的任意一条弦均有伴随切线． ------14分 注:只要考生给出一条满足条件的曲线.并给出正确证明.均给满分．若只给曲线.没有给出正确的证明.不给分．

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