摘要：(湖南师大附中2010届高三第五次月考)如图.抛物线的顶点在坐标原点.且开口向右.点A.B.C在抛物线上.△ABC的重心F为抛物线的焦点.直线AB的方程为. (Ⅰ)求抛物线的方程, (Ⅱ)设点M为某定点.过点M的动直线l与抛物线相交于P.Q两点.试推断是否存在定点M.使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在.求点M的坐标,若不存在.说明理由. [解](Ⅰ)设抛物线方程为. 联立消去x.得 设点.则. 所以. 设点.因为△ABC的重心为.则 .所以. 因为点C在抛物线上.则.解得p＝8.此时. 故抛物线方程为y2＝16x. (Ⅱ)设过定点M的动直线l的方程为.代入抛物线方程y2＝16x.得 .所以. 若以线段PQ为直径的圆经过坐标原点.则.即. 所以.即.所以. 因为.所以. 所以直线l的方程为.即.从而直线l必经过定点. 若直线l的斜率不存在.因为直线与抛物线的交点为.此时仍有.故存在定点满足条件.

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