摘要：(八)综合例题赏析 例9 设集合M={x|x＞2|}.P={x|x＜3|}.那么 “x∈M或x∈P 是“x∈M∩P 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分也非必要条件 解:M∪N=R.M∩N={2＜x＜3} ∴x∈M∩Px∈M或x∈N. ∴应选B. 例10 已知直线x=a2+y2=4相切 .那么a的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解:r=2.圆心(1.0).a＞0.∴a＝3 应选C. 例11 设圆满足:①截y轴所得的弦长为2,②被x轴分成 的两段弧.其弧长的比为3∶1在满足条件①.②的所有圆中.求圆心到直线l∶x-2y=0的距 离最小的圆的方程 解:设所求圆的圆心P(a,b)半径r 由题设知.P到x,y轴的距离分别为|b|,|a|,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°.故其弦 长为r,有r2=2b2 由“圆P截y轴所得弦长为2 有r2=a2+1 ∴2b2-a2=1 P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=,得 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2) 2b2-a2=1 当且仅当a=b时上式等号成立.此时5d2=1从而d取得最小值 a=b a=1 a=-1 由此有 解得 或 2b2-a2=1 b=1 b=-1 又由r2=2b2,得r2=2. ∴所求圆方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2 例12 自点A发出的光线L射到x轴上.被x轴反射.其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切.求光线L所在的直线方程. 解:设反射光线为L′ ∵L和L′关于x轴对称.L过点A.点A关于x轴的对称点A′. ∴L′过A 设L′的斜率为k.则L′的方程为 y-］,即kx-y+3k-3=0, 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心O的坐标为(2.2).半径r=1 ∵L′和已知圆相切.做O′到L′的距离等于半径r=1 即==1 整理得12k2-25k+12=0 解得k=或k= ∴L′的方程为y+3=(x+3);或y+3=(x+3).即4x-3y+3=0,或3x- 4y-3 ∵L和L′关于x轴对称 ∴L的方程为4x+3y+3=0,或3x+4y-3=0. 例13 设椭圆+=1 的右焦点为F1.右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离. 则椭圆的离心率是 . 解: 例14 已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点距离为3.则P到另一焦点的距离为( ) A.2 B.3 C.5 D.7 解:a2=25,a=5,2a=10. 此椭圆上的点到两焦点的距离之和为10 ∴点P到另一焦点的距离为10-3=7. 应选D. 例15 设双曲线-=1 的半焦距为C.直线1过两点.已知原点到直线1的距离为c.则双曲线的离心率为( ) A.2. B. C. D. 解:∵直线1过, ∴1的方程为+=1, 即bx+ay-ab=0 ∵原点(0.0)到1的距离为c.由点到直线的距离公式 .得c=又0＜a＜b,双曲线中c2=a2+b2, ∴c2=a2+b2 =,得ab=,=·(a2+b2), 整理得a2-4ab+b2=0,b=a. ∴c2=a2+b2=4a2,c=2a,e==2. 应选A. 例16 设F1和F2为双曲线-y2 =1的两个焦点.点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°.则△F1PF2的面积是( ) A.1 B. C.2 D. 解:由已知可得.F1(-.0).F2(.0) ∴|F1F2|=2,|F1F2|2=20 由∠F1PF2=90°, 得20=|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2 ① 由双曲线定义得︳PF1︳-︳PF2︳=2a=4.平方得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·︳PF1|=16 ② ①-②得2|PF1|·|PF2|=4 ∴S=|PF1|·|PF2| 应选A. 例17 双曲线-x2=1的两个焦点坐标是 . 解:(0.).(0.-) 例18 如果双曲线的实半轴长为2.焦距为6.那么该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D.2 解:由题设知a=2,c=3. ∴e=. 应选C. 例19 已知点与抛物线y2=2px的焦点 的距离是5.则p= . 解:y2=2px的焦点坐标是(.0). ∴5= 解出p=4. 例20 直线l过抛物线y2=a的焦点.并 且与x轴垂直.若l被抛物线截得的线段长为4.则a= . 解:设抛物线焦参数为p.则a=2p. l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y2=a(x+1)的对称轴. ∴l被抛物线截得的线段即正焦弦长. ∴4=2p=a.即a=4. 例21 抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴.若AB的长为4.则焦点到AB的距离为 . 解:由AB⊥x轴.│AB│=4.可设A(x1.2). ∵A(x1.2)在抛物线y2=4x上. ∴(2)2=4x1.得x1=3. 又y2=4x的焦点F的坐标为(1.0). ∴F到AB的距离为3-1=2. 例22 焦点在的抛物线方程是( ) A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1) C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1) 解:设抛物线焦参数为p.则焦点和顶点的距离是. 即==2.得p=4. 又抛物线顶点坐标为. ∴y2=-8(x-1)为所求. 应选D. 例23 曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共 点的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解:由2y2+3x+3=0.得y2=-x-≥0. ∴x≤-1. 把y2=-x-代入x2+y2-4x-5=0.得 x2-x--4x-5=0.即2x2-11x-13=0 即=0.∴x=-1(舍x=). 把x=-1代入2y2+3x+3=0.得y=0. ∴交点为.即只有一个交点. 应选D. 例24 设曲线C的方程是y=x3-x.将C沿x轴.y轴正向分别平行移动t.s单位长度后得曲线C1. (1)写出曲线C1的方程, (2)证明曲线C与C1关于点A(.)对称, (3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点.证明S=-t且t≠0. 解:(1)曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s (2)在曲线C上任取点B1(x1.y1).设B2(x2.y2)是B1关于点A的对称点.则有=.=. ∴x1=t-x2.y1=s-y2 代入曲线C的方程.得x2和y2满足方程: S-y2=(t-t2)3-(t-x2). 即y2=(x2-t)2-(x2-t)+s. 可知点B(x2-y2)在曲线C1上 反过来.同样可以证明.在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上. ∴曲线C与C1关于点A对称. (3)∵曲线C与C1有且仅有一个公共点. y=x2-x ∴方程组 .有且仅有一组解. y=(x-t)3-(x-t)+S 消去y.整理得 3tx2-3t2x+(t3-t-S)=0. 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根 ∴t≠0.并且其根的判别式 Δ=9t4-12t(t3-t-S)=0. t≠0 即 t(t3-4t-4S)＝0 ∴S=-t且t≠0 例25 已知l1.l2是过点P(-.0 )的 两条相互垂直的直线.且l1.l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点.分别为A1.B1和A2.B2. (1)求l1的斜率k1的取值范围, (2)若A1恰是双曲线的一个顶点.求│A2B2│的值. 解:(1)依题意.l1.l2的斜率都存在. ∵l1过点P(-.0)且与y2-x2=1有两交点. y=k1(x+)(k1≠0) ∴ ①有两个不同的解. y2-x2=1 消y整理得 (k21-1)x2+2k21x+2k21-1=0. ② 若k21-1=0.则方程组①只有一解.与题设“l1和双曲线有两交点 矛盾. ∴k21-1≠0.即│k│≠1. ②的根的判别式为 Δ1=(2k21)2-4(k21-1)·(2k21-1) =4(3k21-1). 设l2的斜率为k2.因l2和双曲线有两交点. y=k2(x+)(k2≠0) ∴方程组 ③有两不同解. y2-x2=1 在③中消y整理得 (k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0. ④ 同理有│k2│≠1.Δ2=4(3k22-1). 由已知l1⊥l2.得k1·k2=-1. ∴l1.l2与双曲线各有两个交点.等价于 3k21-1＞0 ＜│k1│＜ 3k22-1＞0 解得 k1·k2=-1 │k1│≠1 │k1│≠0.│k2 │≠1. ∴k1∈(-.-1)∪(-1.-)∪(.1)∪(1.). (2)双曲线y2-x2=1的顶点为. 即A1(0.1)时.有 k1·(0+)=1.得k1=.k2 =-=-. 将k2=-代入方程④得x2+4x+3=0 ⑤ 记l2与双曲线的两交点为A2(x1.y1).B2(x2.y2). 则│A2B2│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2 =3((x1+x2)2-4x1x2) 由⑤知.x1+x2=-4.x1·x2=3. ∴│A2B2│2=3((-4)2-4×3)=60. │A2B2│=2. 当取A1时.由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性.知│A2B2│=2. ∴l1过双曲线一顶点时.│A2B2│=2. 例26 已知椭圆+=1.直线L∶+=1.P是L上 一 点.射线OP交椭圆于R.又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在l上移动 时.求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线. 解:如图. 由题设知Q不在原点.设P.R.Q的坐标分别为(xP.yP).(xR.yR).(x.y)其中x .y不同时为零. 当点P不在y轴上时.由于点R在椭圆上及点O.Q.R共线.得方程组, +=1 x2R= ① .解得 = y2R= ② 由于点P在直线l上及点O.Q.P共线.得方程组: +=1 xP= ③.解得 ④ = yP= 当点P在y轴上时.经检验①-④也成立. ∵│OQ│·│OP│=│OR│2 ∴·=()2. 将代入上式.化简整理得 =. 因x与xP同号或y与yP同号.以及③.④知2x+3y＞0. ∴点Q的轨迹方程为+=1.其中 点Q的轨迹是以(1.1)为中心.长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆. 解法二:由题设知点Q不在原点. 设P.R.Q的坐标分别为(xP.yP).(xR.yR).(x,y)其中x.y不同时为零. 设OP写x轴正方向的夹角为α.则有 xP=│OP│cosα.yP=│OP│sinα, xR=│OR│cosα.yR=│OP│sinα, x=│OQ│cosα.y=│OQ│sinα, 又│OP│·│OQ│=│OR│2.可得 xP=x x2R=x2 ① ② yP=y y2R=y2 ∵点P在直线l上.点R在椭圆上. +=1 ∴ .将代 入.得 +＝1 +=1.. ∴Q点的轨迹是以(1.1)为中心.长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆. 例27 已知直线l过坐标原点.抛物线C的顶点在原点.焦 点在x轴正半轴上.若点A关于l的对称点都在C上.求直线l和抛物线的方程. 解法一:如图. 由题意可设抛物线C的方程为y2=2px .且x轴和y轴不是所求直线.又l过原点.所 以可设l的方程y=kx ① 设A′.B′分别是A.B关于l的对称点.则有. A′A⊥l.直线AA′的方程为 y=-(x+1). ② 由①.②联立得AA′与l的交点M的坐标为(-.-). 由M为AA′的中点.得点A′的坐标为. xA′=2(-)+1=. yA′=2()+0=- ③ 同理可得点B的坐标为(.). ∵A′.B′均在抛物线y2=2px 上. ∴(-)2=2p·.知k≠±1 .p=. 同理()2=2p·.得p= . ∴=. 整理得k2-k-1=0. 解得k1=.k2=. 但当k=时.xA′=-＜0.与A′在抛物线y2=2px上矛盾.故舍去. 把k=代入p==. ∴直线方程为y=x.抛物线方程为y2=x. 解法二:设点A.B关于直线l的对称点A′(x1.y1).B′(x2.y2).则有 │OA′│=│OA│=1.│OB′│=│OB│=8 设x轴正向到OB′的转角为α.则有 x2=8cosα.y2=8sinα ① ∵A′.B′是A.B关于直线l的对称点. 又∠BOA是直角. ∴∠B′OA′为直角.得 x1=cos(α-)=sin α.y1=sin(α-)=-cosα ② 由题意知.x1＞0.x2＞0.故α为第一象限角. ∵A′.B′都在抛物线y2=2px上. ∴cos2α=2p·sinα.64sin2α=2p· cosα ∴8sin3α=cos3α.得2sinα=cosα 解得sinα=.cosα=. 代入cos2α=2psinα.得p=. ∴抛物线方程为y2=x. ∵直线l平分∠BOB′. ∴l的斜率k=tg(α+(-α))=tg(+) ===. ∴ 直线l的方程为y= x. 例28 在面积为1的△PMN中.tgM=.tgN=-2.建立适当的坐标系.求出M.N为焦点且过点P的椭圆方 程. 解:如图 以MN所在直线为x轴.以线段MN的垂直平分线为y轴建立坐标系. 设以M.N为焦点且过P点的椭圆的方程为 +=1 点M.N的坐标分别为. 由tgM=.tg∠PNx=tg=2.得 直线PM和直线PN的方程分别为 y=. x=c 将两方程联立得 .即P(c, c). y=c 已知△MNP的面积为1. ∴1=|MN|·y?P= ·2c· c= c2. 得c=.P(.). ∵|PM|== =. |PN|= = = . ∴2a=|PM|+|PN|=,a= . b2=a2-c2=()2-()2=3 . ∴+=1为所求椭圆方程. 例29 设抛物线经过两点.对称轴与x 轴平行.开口向右.直线y=2x+7被抛物线截得线段长是4.求抛物线的方 程. 解:设所求抛物线的顶点坐标为(x0,y0).由题设可设所求抛物线方程为(y-y0)2=2 p(x-x0) ∵在抛物线上. ∴抛物线的对称轴为y==2.即y0=2.抛物线方程化为(y-2)2=2p(x -x0) ① 把代入.得2px0=-2p-16 ② 设直线和抛物线两交点坐标为(x1,y1).(x2,y2). (y-2)2＝2p(x-x0) 由 .得 y=2x+7 4x2+x+(25+2px0)=0, 将①:2px0=-2p-16代入上面方程.得 4x2+=0. x1,x2是方程的两根.由根与系数的关系得x1+x2=5-.x1·x2=. ∴|x1-x2|== ∴4==|x1-x2| =· 化简整理得p2-12p-64=0. 即=0,又p＞0. ∴p=16. 由2px0=-2p-16.得x0=-. ∴(y-2)2=32(x+)为所求抛物线方程. 例30 已知椭圆的中心在坐标原点O.焦点在坐标轴上.直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q.且OP⊥OQ.|PQ|=.求椭圆的方程. 解:设所求椭圆的方程为+=1. 依题意知.点P.Q的坐标满足方程组: +=1 ① (1)y=x+1 ② 将②代入①.整理得 (a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0. ③ 设方程③的两个根分别为x1.x2.则直线y=x+1和椭圆的交点为. P(x1,x1+1).Q(x2,x2+1) 由题设OP⊥OQ.|OP|=.可得 ·=-1 (x2-x1)2+((x2+1)-(x1+1))2=()2. 整理得 (x1+x2)+2x1x2+1=0 ④ 4(x1+x2)2 -16x1x2-5=0 ⑤ 解这个方程组.得 x1x2= x1x2=- 或 x1+x2=- x1+x2=- 根据根与系数的关系.由(3)式得 ＝ ＝ ＝ ＝- 解方程组得 a2=2 a2= 或 b2= b2=2 故所求椭圆方程为 +=1.或+=1. 例31 已知双曲线C的实半轴长和虚半轴长的乘积为.C的两个焦点分别为F1.F2.直线L过F2且与直线F1F2的夹角为.tg=.L与线段F1F2的垂直平分线的交点是P.线段PF2与双曲线C的交点为Q(且|PQ|∶|PF2=2∶1).求双曲线的方程. 解:如图. 以直线F1F2为x轴.线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系. 设双曲线C的方程为-=1 设F1.F2的坐标分别为.其中C=.则点P的坐标为(0.-.c). 由线段的定比分点公式可得Q点的坐标为(c,- c). 将Q点坐标代入双曲线方程得 -=1.整理得 16()4-41()2-21=0 解得()2=3或()2=- 由()2=3和题设ab=.解得a=1.b=. 故所求双曲线方程为x2-=1. 例32 已知点P在直线x=2上移动.直线l通过原点且OP垂直 .过点A(1.0)和点P的直线m和直线l交于点Q.求点Q的轨迹方程.并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标. 解:设点P的坐标为(2.y1).则直线OP的斜率 kOP=. ∵l⊥直线OP. ∴直线l的斜率k1满足kOP·k1=-1.即·k1=-1.得k 1=-. 又直线l过原点.所以l的方程为y=-x. ∵直线m过点A(1.0).P(2.y1). ∴m的方程为y1x-y-y1=0 由l的方程得y1=-代入m的方程得--x-y+=0.即2x2+y2-2x=0. 显然点Q与点A(1.0)不重合.故x≠1. 又2x2+y2-2x=0可化为 +=1 . ∴Q点的轨迹是挖去点(1.0)的椭圆.该椭圆的焦点坐标是(.)和(.-). 例33 已知椭圆的焦点为F1和F2(0.1).直线 y=4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程, (2)设点P在椭圆上.且│PF1│-│PF2│=1.求 tg∠F1PF2的值. 解:如图. (1)设所求椭圆方程为+=1. 由F1和F2(0.1).知c=1.得a2=b2+1. ① 由一条准线方程为y=4知.=4 ② 又a2=b2+c2 ③ 由①.②.③解得a2=4.b2=3. 故所求椭圆方程为+=1. (2)由椭圆定义及a=2有│PF1│+│PF2│=4 ① 由题设有│PF1│-│PF2│=1 ② 解出│PF1│=.│PF2│=.又│F1F2 │=2. 在△PF1F2中.∠F1PF2=θ. ∴cosθ==. 从而sinθ=.tgθ=.tg∠F1PF2=.

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