摘要：(四)直线平面垂直的判定与性质定理 例4 已知如图.PA⊥矩形ABCD所在的平面.M.N分别是AB.PC的中点.若平面PDC与平面ABCD成45°角.求证:MN⊥平面PDC. 证明:取PD中点E.连接EN.EA. ∵N是PC中点. ∴EN ∥ CD.CD＝AB. 故ENMA是平行四边形.MN∥AE. ∵PA⊥面ABCD. ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD.PA∩AD＝A ∴AB⊥面PAD. ∵AE面PAD.PD面PAD. ∴AB⊥AE.AB⊥PD.MN⊥AB.从而MN⊥CD. ∵CD⊥AD.CD⊥PD. ∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. ∴△PAD是等腰直角三角形.从而AE⊥PD. 故MN⊥PD.PD∩CD＝D. ∴MN⊥平面PDC.
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在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，
又因为
,
………………2分
又
，得证。
第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，
又因为,又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
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