摘要：受新知识体系的影响.作为最近一个世纪才兴起的“向量数学 这套数学体系.以其优良的运算通性.将数学中的“数量 运算与物理中的“矢量 运算有机地结合起来.充分数学作为一门基础性学科的重要地位. 向量作为一种新的量.它不同于数量.数量的代数运算在向量范围不一定能施行.因此在实际教学中.应明确数量和向量的区别.并重新规定了向量的加法.减法.实数和向量的积.向量的数性积和矢性积等运算法则.并在引入二维坐标系后.将向量与坐标紧紧联系起来.增加了向量的渗透性和实用性.更体现了向量运算的价值.下面简单附几例以亨读者. 例1 设△ABC是锐角三角形.在△ABC外分别作等腰Rt△BCD.△ABE.△CAF.在这三个三角形中.∠BDC.∠BAE.∠CFA是直角.又在四边形BCFE外作等腰Rt△EFG.∠EFG是直角.求证:(1)GA=AD (2)∠GAD=1350 G [简析]:以点A为原点建立直角坐标系.记G相应的复数为ZG.D相应复数为ZD.如图. ZG=AG=AF+FG E D =AF+EF F A =AF+ =AF(1+)+BA C B (-1+)ZD=(-1+)AD =DA+AD =DB+BA+ =BA+DB+BD+AC =BA+ =BA+AF(1+) ∴ZG=(-1+)ZD 即 GA=AD .∠GAD=1350 . [评析]:此题将向量与复数二维坐标系完美地结合起来.化繁为简.创造性使用向量完成了证明.值得同学们借鉴.本题也可用传统平几证明方法证明.这里不再赘述. 例2 如图.已知位于同一平面内的正三角形ABC.CDE和EHK.并且AD=DK.证明:△BHD也是正三角形. A B E D C [简析]:将△CAD绕C点逆时针旋转600.易知其得到△CBE. ∴ │AD│=│BE│ 且AD.BE夹角为600 又∵AD=DK ∴│DK│=│AD│=│BE│ 且DK.BE的夹 角也是600 K H 再将△HBE绕H顺针旋转600.又因为 △EHK是正三角形.所以点E转到K.线段EB 与KD重合.即B转到D 于是│HB│=│HD│.∴HB.HD夹角为600 ∴ △BHD是正三角形. [评析]:此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明了正三角形的结论.实际题中条件“ 等价于“在一直线上. 这个条件.读者可以利用初等平几知识进行证明.但均不如向量证法简洁明了. y 例3 在半径为15cm的均匀铁板上.挖去一个圆洞.已知圆洞的圆心和铁板的中心相距8cm.圆洞的半径是5cm.求挖去圆洞后所剩下的铁板的重心. F2 [简析]:如图.以铁板中心O1为原点建立直角坐标系.设挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为 O’(x,0)及圆洞中心O2 O’ O1 O2 O1 x 如果在O’(x,0)处给一个支持点.根据重心原理.剩下的铁板应该处于力的平衡状态.即其余各力的力矩和应为0 .则 F1 │F1│·│O’ O1│-│F2│·│O’ O2│=│0│ ----------------------------------------------------------(*) 这里.│F1│=π×152 │F2│=π×52 │O’ O1│= x │O’ O2│= 8+x 代入(*)得.x = -1 ∴挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为O’ [评析]:这实质上是一道物理题的“变题 .利用“物体在平衡时.力矩和为0 来解题.这里力矩就一个向量.正体现了数学作为一门“工具性学科 的基础用途. 高中新教材在引入向量以后.使得平面几何和空间几何中许多定理.公式及一些相关问题变得直观.浅显.易理解.教材还通过布置一定量的“实习作业 .“研究性课题 等实践内容让学生亲身体验数学活动的过程.提高他们的数学素养.以达到培养学生创新精神和应用能力的目的.这也是高中新教材改革之宗旨和目标.

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