摘要：22． 三个方程中都没有两个相异实根 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根. 则Δ1=4b2-4ac≤0.Δ2=4c2-4ab≤0.Δ3=4a2-4bc≤0. 相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0. (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ① 由题意a.b.c互不相等.∴①式不能成立. ∴假设不成立.即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 方法总结:反证法步骤-假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少 .“唯一 或含有否定词的命题适宜用反证法.
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已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
【解析】本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。
先反设，然后推理论证，最后退出矛盾。证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.显然不成立。
证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
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