摘要：,是椭圆上一点.且满足. (1)求离心率e的取值范围(2)当离心率e取得最小值时.点N到椭圆上的点的最远距离为5(i)求此时椭圆C的方程(ii)设斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同的两点A.B.Q为AB的中点.问A.B两点能否关于过点P.Q的直线对称?若能.求出k的取值范围,若不能.请说明理由.解:(1).由几何性质知的取值范围为:≤e＜1------3分 当离心率e取最小值时.椭圆方程可表示为+ = 1 .设H是椭圆上的一点.则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 .其中 - b≤y≤b若0＜b＜3 .则当y = - b时.| NH |2有最大值b2+6b+9 .所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5 -------5分若b≥3.则当y = -3时.| NH |2有最大值2b2+18 .所以由2b2+18=50解得b2=16∴所求椭圆方程为+ = 1------7分(ii) 设 A( x1 , y1 ) .B( x2 , y2 ).Q( x0 , y0 ).则由两式相减得x0+2ky0=0,---① --------8分又直线PQ⊥直线l.∴直线PQ的方程为y= - x - .将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y0= - x0- ---② --------9分由①②解得Q.而点Q必在椭圆的内部∴ + < 1.----- 10分由此得k2 < .又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k < 故当时.A.B两点关于过点P.Q.的直线对称.----12分

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