Question

已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长交椭圆于点，证明：；

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设可知：        
故    
故椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）设，由可得：

由直线OM与ON的斜率之积为可得：
，即
由①②可得：    
M、N是椭圆上，故    
故，即   
由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;
（Ⅲ）设  由题设可知

由题设可知斜率存在且满足
…………③  

将③代入④可得：……⑤
点在椭圆，
故