摘要：如图所示.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ACB=90°.CB=1.CA=.AA1=.M是侧棱CC1的中点. (1)求证:AM⊥BA1, (2)求证:平面ABM⊥平面A1BC, (3)求点C到平面ABM的距离. (1)证明 在Rt△A1AC与Rt△ACM中. ∵.∴ Rt△A1AC∽Rt△ACM. ∴∠AA1C=∠CAM. ∴∠AA1C=∠CAM.∴A1C⊥AM. ∵BC⊥AC.BC⊥CC1.且AC∩CC1=C. ∴BC⊥平面CC1A1A.A1C是BA1在平面CC1A1A内的射影. 又AM平面CC1A1A.∴BA1⊥AM. 知AM⊥BA1.AM⊥A1C. 且BA1∩A1C=A1. ∴AM⊥平面A1BC.又AM平面ABM. ∴平面ABM⊥平面A1BC. (3)解 设点C到平面ABM的距离为h. 由VM-ABC=S△ABC·MC =BC·AC·MC=. 易知AM=.BM=.AB=2. ∴cos∠AMB=. ∴sin∠AMB=. ∴S△ABM=·AM·BM·sin∠AMB=. ∵VC-ABM=VM-ABC. 故h=.即点C到平面ABM的距离为.

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