摘要：例1 已知|a|=5. |b|=4. a与b的夹角θ=120o.求a·b. 例2 已知|a|=6. |b|=4. a与b的夹角为60o求. 例3 已知|a|=3. |b|=4. 且a与b不共线.k为何值时.向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误.并简要说明理由. ①a·0＝0,②0·a＝0,③0-＝,④|a·b|＝|a||b|,⑤若a≠0.则对任一非零b有a·b≠0,⑥a·b＝0.则a与b中至少有一个为0,⑦对任意向量a.b.с都有(a·b)с＝a(b·с),⑧a与b是两个单位向量.则a2＝b2. 解:上述8个命题中只有③⑧正确, 对于①:两个向量的数量积是一个实数.应有0·a＝0,对于②:应有0·a＝0, 对于④:由数量积定义有|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≤|a||b|.这里θ是a与b的夹角.只有θ＝0或θ＝π时.才有|a·b|＝|a|·|b|, 对于⑤:若非零向量a.b垂直.有a·b＝0, 对于⑥:由a·b＝0可知a⊥b可以都非零, 对于⑦:若a与с共线.记a＝λс. 则a·b＝(λс)·b＝λ(с·b)＝λ(b·с). ∴(a·b)·с＝λ(b·с)с＝(b·с)λс＝(b·с)a 若a与с不共线.则(a·b)с≠(b·с)a. 评述:这一类型题.要求学生确实把握好数量积的定义.性质.运算律. 例6 已知|a|＝3.|b|＝6.当①a∥b.②a⊥b.③a与b的夹角是60°时.分别求a·b. 解:①当a∥b时.若a与b同向.则它们的夹角θ＝0°. ∴a·b＝|a|·|b|cos0°＝3×6×1＝18, 若a与b反向.则它们的夹角θ＝180°. ∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(-1)＝-18, ②当a⊥b时.它们的夹角θ＝90°. ∴a·b＝0, ③当a与b的夹角是60°时.有 a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝9 评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关.其范围是［0°.180°］.因此.当a∥b时.有0°或180°两种可能.

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