求圆心在直线上，且经过原点及点的圆的标准方程.

【解析】本试题主要考查的圆的方程的求解，利用圆心和半径表示圆，首先设圆心C的坐标为（），然后利用，得到，从而圆心，半径.可得原点 标准方程。

解：设圆心C的坐标为（），...........2分

则，即

，解得........4分

所以圆心，半径...........8分

故圆C的标准方程为：.......10分

课外研究题：将一块圆心角为，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法，使裁得矩形的面积最大?并说明理由．

教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行点评。

参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行。从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论．

已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值；

（Ⅲ）设椭圆方程，、为长轴两个端点， 为椭圆上异于、的点， 、分别为直线、的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得（        ）（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值；

（Ⅲ）设椭圆方程，、为长轴两个端点， 为椭圆上异于、的点， 、分别为直线、的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得（        ）（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

（本题满分12分）

已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线和以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值；

（Ⅲ）设椭圆方程，、为长轴两个端点， 为椭圆上异于、的点， 、分别为直线、的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得（        ）（只需直接写出结果即可，不必写出推理过程）．