摘要：课题 例1 例2 反正切 概念 演练反馈 总结提炼 典型例题 例1．已知 .若(1) ,(2) ．求角 分析:由正切函数的单调性可知.在开区间 内.符合条件 的角只有一个.而在 内.符号条件 的角就有两个． 解 (1)由正切函数在开区间 上是增函数可知,符合条件 的角只有一个.即 ． (2)∵ .所以 是第二或第四象限角. 又∵ .由正切函数在区间 . 上是增函数知.符合 的角有两个． ∵ .且 . ∴ .或 ． 小结:在某范围内解的个数判断.根据函数性质.三角函数线或三角函数值的符号判断所在象限.然后推广到整个范围． 例2．用反三角函数表示下列各式中的 (1) ( ), (2) ( ), (3) ( ), (4) ( )． 分析:用反三角函数表示角.应先观察题中的角是否在定义中规定的基本范围内.如在.则直接写出,如不在.则应运用诱导公式把角化入基本范围内． 解:(1)∵ .∴ ． (2)∵ .∴ ． 由 .即 . ∴ .即 ． (3)∵ .∴ ． 又 . ∴ .即 ． (4)∵ .∴ ． 小结:利用反三角函数符号表示角要注意所能表示的范围: . . ． 例3．已知 ． (1) .求 , (2) .求 的取值集合, (3) 时.求 的取值集合． 分析:当 时.满足 的 .利用诱导公式可知满足 且 的 有两个值 与 .利用终边相同角的三角函数值相等可求出 上的所有 的集合． 解:(1)由 在 上是增函数及 知.符合条件的角有且只有一个.利用反正弦概念得: ． (2)当 时.由诱导公式 及 知 . ．于是所求的 的集合是 ． (3)当 时.根据正弦函数的周期性.可知当 或 . 时. ．因此所求的 的集合是 ． 小结:(1)已知三角函数值求角.一般思路是先求出的给三角函数值的绝对值对应的锐角 .然后利用诱导公式求出 内的特解 与 .最后利用三角函数的周期性写出 上的通解． (2)本例是从不同的范围.阐述了已知三角函数值求角的方法.有很强的代表性.要认真领会.学会应用.若把正弦切成余弦.正切.也要会求． 例4．在一个正方形内作一个内接正方形.使这两个正方形面积之比为3:2.求内接正方形一边与原正方形一边之间所成的角． 分析:关键是设法将两正方形边之比表为其夹角 的函数.列出方程求解． 解:如图1.设正方形 的内接正方形为 . . ．则 依题意有 化简得: . 即 ． ∵ 为锐角.∴ 或 .即 或 ． 小结:将题目转化为已知三角函数值求角问题.在求解过程中尽量转化为一个角的三角函数形式.以便利用所学知识求解． 扩展资料 驾驭着波峰的数学 如果你是冲浪运动员.你知道有时难以预料何时浪会升起.有时浪在岸边完整地出现.但是当你进入水中时.它已经消失了.因此你就得等待完整波的到来.有时似乎要好几小时.在另外一些时候.完整波一个接一个地来到.可有许多个供你选择.不用说.波理论和波活动性是一个复杂的系统.许多因素影响着和创造着海浪.风.地震.船的尾波.当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力.都扰动着海洋.海浪在水面上行动.当有多重的扰动或因素互相作用时.这些波动形式多少有点随机性.19世纪初.对海浪的数学开展了很多研究.在海上和在受控制的实验室中所作的观测.帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克.弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论.在他的观测中.他记录着波中水粒是如何作圆周运动的.位于波峰的水的运动方向与波相同.位于波谷的水的运动方向则相反.在水面上.每一水粒都沿着圆形轨道运动.然后回到原位.圆的直径被发现等于波的高度.水的整个深度中水粒都在生成圆.但水粒愈深.它的圆愈小.事实上.人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的1/9的深度.圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半. 因为波浪与这些作圆周运动的水粒有关.并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关.这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不奇怪了.但是人们发现.波浪既不是严格的正弦曲线.也不是任何别的纯粹的数学曲线.水的深度.风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已.今天研究波浪时.用到了概率.统计学和复杂性这些数学工具.人们考察了大量小波.并从所收集到的数据提出预测. * * * * * * 海洋波浪的另外一些有趣的数学特性是: (1)波长与周期有关. (2)波高与周期和波长都无关(有一些例外.但周期和波长的影响很小). (3)当峰角超过120°时.波会破裂.波破裂时.它的大部分能量都消耗掉了. (4)确定波何时将会破裂的另一方法是把波高与波长比较.当这比率大于1/7时.波将破裂. 波高 从峰到谷的垂直距离 波长 相邻两峰间的水平距离 波周期 波峰行经一个波长所需时间 正弦曲线是一种周期性的三角函数曲线. 摆线是指一个圆在一直线上平稳地滚动时圆上一定点的轨迹. 扩展资料 用几何画板巧作一段正切曲线 首先启用几何画板软件(如果您电脑上没有安装该软件.可以到网上免费下载.但4.0版的不免费).该画法分六步: 第一步:在图表菜单中选择建立直角坐标系命令.在图表菜单中选绘制点选项.绘制出点 . . ．( .4.0以上版可以直接绘制点 )同时选点 . 轴.在作图菜单中选择平行线选项.做过 点平行于 轴的直线 .同理可做出过 点的且平行于 轴的直线 ． 第二步:选择点 .点 .在作图菜单中选择“以圆心和圆周上的点画圆 选项.做出以 为圆心.以线段 为半径的圆.过 点作出平行于 轴的直线 .选择圆和 .在作图菜单中选择“交点 选项.作出 与圆的交点 . .隐藏 和圆.选择点 . . .在作图菜单中选择“过三点的弧 选项.做出过 . . 三点的弧.连接点 .点 .做出完整的半圆. 第三步:选择“点 工具.在半圆上做出一个点 .按照 . . 的顺序依次选择三个点.在“度量 菜单中选择“角度 选项.度量出 的大小.在“显示 菜单中选择“参数选择 选项.在对话框中把“角度 改为“弧度 .选择 的度量值.在“图表 菜单中选择“绘制度量值 选项.出现绘制度量值对话框.单击“确定 .屏幕上出现一条垂直于 轴的虚线 第四步:作出线段 .在“作图 菜单中.做出过点 的线段 的垂线 .过 作 的垂直平分线 .作出直线 和直线 的交点 .隐藏直线 . 和线段 .作出线段 .过点工作直线 的垂线 .作出 和 的交点 .隐藏垂线 .过点 . 作线段 .选择 点.打开“显示 菜单选择“追踪点 选项.当点 在半圆上运动时.点 的轨迹就是正切图像. 第五步:选择 点和半圆.打开“编辑 菜单.选择“操作类按钮 选项.在下拉菜单中选择“动画 选项.在“匹配路径 对话框中.根据情况选择您所需要的动画.双击“动画 图标.点 就自动地绕着半圆运动.此时点 的轨迹就是正切 的一段图像 第六步:同时选择点 和点 .打开“作图 菜单.选择“轨迹 选项.正切和图像就出现了.选择正切图像.在“编辑 对话框中选择“操作类按钮 中的隐藏就可以根据您的需要显示或隐藏正切图像. 探究活动 在实际使用计算机投影仪时.常常把投影仪的支架固定在天花板上.如图所示支架的末端P里投影中心O的距离为85.5英寸.俯角是 .支架PE长18英寸.投影屏幕CD高6英尺.投影屏幕的厚度可以省略． (1)画出相关点与线的示意图.分别求出屏幕上沿和下沿D离天花板的距离． (2)求支架末端P分别与屏幕上沿和下沿连线的夹角 ． 中的 .投影到屏幕上图形或文字会感到失真.如果把上沿C固定.将投影屏幕拉离墙面.那么当下沿 与支架的末端P距离多少英寸时.可使 为 ． 解:(1)示意图如图所示.设支架的末端为点P.支架在天花板上固定为点E.天花板和投影屏幕所在的墙的交点为点A.屏幕上沿.下沿.中心分别为C.D.O.过P作AD的垂线.垂足为点B.由题意.得 AB-EP=18.PO=85.5.CD=12×6=72. CO=DO=36.∠BPO= ． 在 中. . 所以BC=BO-CO=42.75-36=6.75 AC=AB+BC=24.75, AD=AC+CD=96.75 所以屏幕上沿和下沿离天花板的距离分别为24．75英寸和96.75英寸． (2)在 中. 在 中. 在 中. 所以 .即 ． (3)设 .在 中. . 解得 或 ． 所以下沿与支架的末端距离101.77英寸时.可使 ． 习题精选

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