摘要：2．探索研究 (1)复习回忆锐角三角函数 我们已经学习过锐角三角函数.知道它们都是以锐角 为自变量.以比值为函数值.定义了角 的正弦.余弦.正切.余切的三角函数.本节课我们研究当角 是一个任意角时.其三角函数的定义及其几何表示． (2)任意角的三角函数定义 如图1.设 是任意角. 的终边上任意一点 的坐标是 .当角 在第一.二.三.四象限时的情形.它与原点的距离为 .则 ． 定义:①比值 叫做 的正弦.记作 .即 ． ②比值 叫做 的余弦.记作 .即 ． 图1 ③比值 叫做 的正切.记作 .即 ． 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件 提问:对于确定的角 .这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢? 利用三角形相似的知识.可以得出对于角 .这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关.只与角 的大小有关． 请同学们观察当 时. 的终边在 轴上.此时终边上任一点 的横坐标 都等于0.所以 无意义.除此之外.对于确定的角 .上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项.后项交换.那么得到另外三个定义． ④比值 叫做 的余切.记作 .则 ． ⑤比值 叫做 的正割.记作 .则 ． ⑥比值 叫做 的余割.记作 .则 ． 可以看出:当 时. 的终边在 轴上.这时 的纵坐标 都等于0.所以 与 的值不存在.当 时. 的值不存在.除此之外.对于确定的角 .比值 . . 分别是一个确定的实数.所以我们把正弦.余弦.正切.余切.正割及余割都看成是以角为自变量.以比值为函数值的函数.以上六种函数统称三角函数． (3)三角函数是以实数为自变量的函数 对于确定的角 .如图2所示. . . 分别对应的比值各是一个确定的实数.因此.正弦.余弦.正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射.它们都是以角为自变量.以比值为函数值的函数.当采用弧度制来度量角时.每一个确定的角有惟一确定的弧度数.这是一个实数.所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量.以比值为函数值的函数． 即:实数→角→三角函数值 (4)三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段.作出正弦线.余弦线.正切线.如下图3． 图3 设任意角 的顶点在原点 .始边与 轴的非负半轴重合.终边与单位圆相交于点 .过 作 轴的垂线.垂足为 ,过点 作单位圆的切线.这条切线必然平行于轴.设它与角 的终边(当 为第一.四象限时)或其反向延长线(当 为第二.三象限时)相交于 .当角 的终边不在坐标轴上时.我们把 . 都看成带有方向的线段.这种带方向的线段叫有向线段．由正弦.余弦.正切函数的定义有: 这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线.余弦线.正切线．当角 的终边在 轴上时.正弦线.正切线分别变成一个点,当角 的终边在 轴上时.余弦线变成一个点.正切线不存在． (5)例题讲评 [例1]已知角 的终边经过 .求 的六个三角函数值． 解:∵ ∴ 提问:若将 改为 .如何求 的六个三角函数值呢?(分 . 两种情形讨论) [例2]求下列各角的六个三角函数值 (1) ,(2) ,(3) ． 解:(1)∵当 时. . ∴ . . 不存在. . 不存在 (2)∵当 时. . ∴ . 不存在 不存在 (3)当 时. . ∴ 不存在 不存在 [例3]作出下列各角的正弦线.余弦线.正切线．(1) ,(2) ． 解: . 的正弦线.余弦线.正切线分别为 ． [例4]求证:当 为锐角时. ． 证明:如右图.作单位圆.当 时作出正弦线 和正切线 .连 ∵ ∴ ∴ 利用三角函数线还可以得出如下结论 的充要条件是 为第一象限角． 的充要条件是 为第三象限角． 练习 (1)角 的终边在直线 上.求 的六个三角函数值． (2)角 的终边经过点 .求 . . . 的值． (3)说明 的理由． ． 解答: (1)先确定终边位置 ①如 在第一象限.在其上任取一点 . .则 . ②如 在第三象限.在终边上任取一点 .则 . (2)若 .不妨令 .则 在第二角限 ∴ (3)在 终边上任取一点 .因为 与 终边相同.故 也为角 终边上一点.所以 成立． 说明:以后会知道.求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角 的三角函数值.是基本方法之一．当角终边不确定时.要首先确定终边位置.然后再在终边上取一个点来计算函数值．

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