摘要：2．探索研究 (1)复习角度制 我们在平面几何中研究角的度量.当时是用度做单位来度量角. 的角是如何定义的? 规定把周角的 作为1度的角． 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度-弧度制.它是如何定义呢? (2)弧度制定义 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图1.弧 的长等于半径 . 所对的圆心角 就是1弧度的角.弧度制的单位符号是 .读作弧度． 图1 的弧度数 的弧度数 提问:若弧是一个半圆.则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢? 因为半圆的弧长 .其圆心角的弧度数是 .同理.若弧是一个整圆.其圆心角的弧度数是 ． 在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 .角的概念推广后.弧的概念也随之推广.任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角.且它以所对的弧长 .则这个圆心角的弧度数是 .由此我们给出弧度制的定义:一般地.可以得到:正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0,角 的弧度数的绝对值 .其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长. 是圆的半径.这种以弧度作为单位来度量角的单位制.叫做弧度制． 提问:为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢? 如图2.设 为 的角.圆弧 和 的长分别为 和 .点 和 到点 的距离分别为 和 .由初中学过的弧长公式可得: . .于是 ．上式表明.以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值.由 的大小来确定.与所取的半径大小无关.仅与角的大小有关． 因 .可以得到 .那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积.这个公式比采用角度制时相应公式 要简单． (3)角度制与弧度制的换算 用“弧度 与“度 去度量每一个角时.除了零角以外.所得到的量数都是不同的.但它们既然是度量同一个角的结果.二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆.它的圆心角是周角.其弧度数是 .而在角度制里它是 .因此 .两边除以2． 得 等式两边同除180 得 同理.把弧度换成角度． [例1]把 化成弧度． 解:∵ ∴ [例2]把 化成度． 解: 同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键． 下面请大家写出一些特殊角的弧度数． 角度 弧度 按从左至右顺序其答案是:0. . . . . . . . . . ．今后我们用弧度制表示角的时候.“弧度 二字或“ 通常省略不写.而只写相应的弧度数．例如:角 就表示 是 的角. 就表示 的角的余弦.即 ． (4)角度制与弧度制的比较 引进弧度制后.我们应将它与角度制进行比较.同学们应明确:①弧度制是以“弧度 为单位度量角的制度.角度制是以“度 为单位度量角的制度,②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小.而 是圆的 所对的圆心角的大小,③不论是以“弧度 还是以“度 为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值． [例3]计算: (1) ,(2) ． 解:(1)∵ ∴ (2)∵ 练习

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