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一．选择题：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空题：
11．
a+
b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14．
15．120º 16．②④
三．解答题：
17．由题设，得
，
，
，双曲线为
， …… 2分
直线AB的方程为 
，
……………………… 4分
代入到双曲线方程得：4x2+20ax
又
，由
得：
12=
，
……………………… 9分
解得a2=1，则b2=3，所以
为所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）
∴ 
……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 当在（－∞，0）上
,在(0,2)上
,在
上,
故
在（-∞0）,上递增,在(0,2)上递减,
因此在x=2处取得极小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
过P作MN∥B
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=
a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥
为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为
的重心
………… 14分
解法二：（建立空间坐标系）
20．解 (Ⅰ)由
=
3在[a ，b]上为减函数，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取
1 = 1 ，
2 = 10，可得
(
)不是减函数；取1 =
，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
………… 10分
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a
，b]，则
故a ， b是方程=
的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
………… 13分
当k
时，
解得：
，∴ 
；
当
时，
这时
无解．
所以 k的取值范围是
．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=
，bn=
，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜
=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）
参考答案
一．选择题：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空题：
11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④
三．解答题：
17．由题设，得，，，双曲线为
， …… 2分
直线AB的方程为
，
……………………… 4分
代入到双曲线方程得：
， ……………………… 6分
又，由得：
，
……………………… 9分
解得
，则
，所以
为所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）
∴ ……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 当在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,
故在（－∞，0）,上递增,在(0,2)上递减,
因此在x=2处取得极小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
过P作MN∥B
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
………… 14分
解法二：（建立空间坐标系）
20．解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上为减函数，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取1 = 1 ，
2 = 10，可得()不是减函数；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
………… 10分
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a
，b]，则
故a ， b是方程=的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
………… 13分
当k时，解得：，∴ ；
当时，这时无解．
所以 k的取值范围是．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
| a |
| 2 |
| b |
| 2 |
请解答以下问题：
（Ⅰ） 判断函数f（x）=x2-2x，（x∈（0，+∞））是否为“规则函数”？并说明理由；
（Ⅱ）判断函数g（x）=-x3是否为“规则函数”？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数h(x)=
| x-1 |
（1）若定义域D1=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D1上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D2=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=
| 5x-a | x+2 |
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn}，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的取值范围．
已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数f（x）=
是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知函数f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x2-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围．
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（1）若定义域D1=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D1上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D2=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=
| 5x-a |
| x+2 |
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn}，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的取值范围．
（
，D是此函数的定义域），若同时满足下列条件：
在D内单调递减或单调递增；
D，使
在[a，b]上的值域为[a，b]；
叫闭函数； 
符合条件②的区间[a，b]；
是否为闭函数？并说明理由；
是闭函数，求实数k的取值范围。