（2010•抚州模拟）已知：数列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）恒成立；
（3）设dn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

（n∈N^*），求证：当n≥2都有dn2＞2(

d2

2

+

d3

3

+…+

dn

n

)．

设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x²是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，记∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-1，当n≥3，n∈N^*时，

an

n-1

-

an-1

n-2

=

3

(n-1)(n-2)

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得n≥k时，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4对任意实数λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．