摘要：定义1. 如果一个数列给出了初始条件和递推公式.就称这个数列为递推数列. 定义2. 如果一个递推数列的递推公式是线性的.就称这个数列为线性递推数列.否则称为非线性递推数列. 定义3. 如果数列{an}满足如下两个条件: (ⅰ)ai的值已知; (ⅱ)an+k=,pj,q为常数.就称该数列为一个k阶线性递推数列.特别地.当q=0时.称数列{an}为一个k阶齐次线性递推数列. 定义4. 若数列{an}满足a1=b,an+1=f(n)an+g和g.则称之为一阶线性递推数列的推广形式. 命题1 若数列{an}满足a1=b, an+1=qan+dq=1时.an=b+d=0时, an=bqn-1 ,3)d≠0且q≠1时, an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1). 证明 这是一阶线性递推数列.1)和2)是显然的.只证3). 由已知an+1=qan+d,得an=qan-1+d,从而an+1-an=q(an-an-1),由此知{an+1-an}是等比数列.所以an+1-an=(a2-a1)qn-1=qn-1,再把an+1=qan+d代入上式.得an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1). 命题2 若数列{an}满足a1=b, an+1=f(n)an+g和gf(n) ≡1时.an=b+;2)g(n)≡0时.an=b;3) an+1=fi(n)an+gi时.an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)]. 证明 这是一阶线性递推数列的推广形式. 当f(n)≡1时, an+1-an=g(n),于是a2-a1=g(1), a3-a2=g(2),-,an-an-1=g(n-1),进而得an-a1=,即an=b+. 当g(n)≡0时,有=f(n),于是=f(1), =f(2), -, =f(n-1),左右两边分别相乘得:=.因此an=b. 当an+1=f1(n)an+g1(n)及an+1=f2(n)an+g2(n)时.解方程组得: an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)]. 命题3 若数列{an}满足a1=b,a2=c,an+1=pan+qan-1.且pq≠0,则当 1) p+q=1时.; 2) p+q≠1且p2+4q≠0时.an=.其中.是方程的根(.∈C).; 3)p+q≠1且p2+4q=0时.an=n-2c-n-1b. 证明 这是二阶齐次线性递推数列. 当p+q=1时.an+1=(1-q)an+qan-1,即an+1-an=-q(an-an-1),数列{an+1-an}是等比数列.因此an+1-an=(a2-a1)(-q)n-1=n-1.由命题2的1)的. 当p+q≠1时.引进实数将an+1=pan+qan-1改写成:.若数列{an+1+an}为等比数列.则=q/(p+),即.此方程在复数集C中总有二根..记 f()=an+1+an= , 当p2+4q≠0时.≠.于是有方程组 解得:an=. 当p2+4q=0时.1=2=-. 即 an+1=an+=an+, , , ----------------------. 于是猜想:an= . 下面用数学归纳法证之: ①当n=1时.显然成立. ②假设当n=k(k∈N+)时命题成立.即ak=, 那么n=k+1时.ak+1=ak+=. 这说明n=k+1时命题也成立. 从而an= . 命题1.2.3是高中数学中常见的递推数列.对于以其它形式出现的递推数列.我们可以采用化归法进行转化.进而求解.这里不再赘述.

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