摘要：10．已知A.B(2.0).动点P与A.B两点连线的斜率分别为kPA和kPB.且满足kPA·kPB=t (t≠0且t≠-1). (1)求动点P的轨迹C的方程, (2)当t＜0时.曲线C的两焦点为F1.F2.若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O.求t的取值范围． 解:(1) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2-4) +=1.轨迹C的方程为+=1(x≠2). (2) 当-1＜t＜0时.曲线C为焦点在x轴上的椭圆. 设|PF1|=r1.|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a=4. 在△F1PF2中.|F1F2|=2c=4, ∠F1PF2=120O.由余弦定理得 4c2=r+r-2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-()2=3a2, ∴16(1+t)≥12, ∴t≥-. 所以当-≤t＜0时.曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O 当t＜-1时.曲线C为焦点在y轴上的椭圆. 设|PF1|=r1.|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a= -4t, 在△F1PF2中.|F1F2|=2c=4.∠F1PF2=120O.由余弦定理得 4c2=r+r-2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-()2=3a2, ∴16(-1-t)≥-12t, ∴t≤-4. 所以当t≤-4时.曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O 综上知当t＜0时.曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是 .

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